Suites et Limites

Exercices, quiz et cours - Niveau Terminale Spécialité.

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Intermediaire

Intermediaire

8 exercices

Limites et puissances

Intermédiaire

Déterminer la limite des suites suivantes

  1. $u_{n}=3(\frac{1}{4})^n$
  2. $v_{n}=-2(\frac{6}{5})^n$
  3. $w_{n}=(\frac{3}{4})^n+2(0,8)^n-n^2$
  4. $t_{n}=3e^n+e^{-n}$

Suites géométriques et limites

Intermédiaire

Soit $u_{n}$ la suite définie par $u_{0}=150$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=0,8u_{n}+45$.

  1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ définie par $v_{n}=u_{n}-225$ est géométrique et préciser son premier terme et sa raison
  2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$
  3. En déduire la limite de $(v_{n})$ puis $(u_{n})$

Plus de formes indéterminées

Intermédiaire

Déterminer la limite des suites suivantes

  1. $u_{n}=\dfrac{3n^2-2n+5}{-n^2+4n-1}$
  2. $v_{n}=4n^3-n\sqrt{n}$
  3. $w_{n}=\dfrac{(n-1)(n+4)}{2n^2-n+3}$
  4. $t_{n}=2e^n-n^5+e^{-n^2}$

Théorème de comparaison

Intermédiaire

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{n}=n^2-(-1)^n$

  1. Montrer que pour tout entier $n$ on a:
    $u_{n}\geq n^2-1$
  2. En déduire la limite de la suite

Limites de suites arithmétiques et géométriques

Intermédiaire

Déterminer la limite des suites ci-dessous

  1. Suite arithmétique de premier terme $u_{0}=-3$ et raison $r=1,5$
  2. Suite géométrique de premier terme $v_{0}=5$ et raison $q=\frac{1}{3}$
  3. Suite géométrique de premier terme $w_{0}=-\frac{3}{4}$ et raison $q=5$
  4. Suite géométrique de premier terme $t_{0}=-1$ et raison $q=\frac{5}{2}$

Suites majorées, minorées, bornées

Intermédiaire

Montrer que les suites suivantes sont:

  1. $u_{n}=5+\dfrac{1}{n}$ - bornée
  2. $v_{n}=n^2-3(-1)^n$ - minorée
  3. $w_{n}=-\sqrt{n}+3e^{-n}$ - majorée

Théorème de convergence monotone

Intermédiaire

Soit la suite: $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n}+1$ et $u_{0}=4$

  1. Montrer par récurrence que la suite est minorée par 2
  2. En déduire que la suite est décroissante
  3. Que peut-on en conclure pour sa convergence?

Utiliser la définition de la convergence

Intermédiaire

Soit $u_{n}=1+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$

  1. Quelle est la limite de cette suite en utilisant les théorèmes du cours?
  2. Soit $\epsilon$ un nombre réel strictement positif quelconque. Montrer qu'il existe un entier $N$ tel que $|u_{N}-1|<\epsilon$.
  3. En déduire que pour tout $n\geq N$, $|u_{n}-1|<\epsilon$.
  4. Conclure

Résumé de cours

Suites et Limites

Suites et limites

Limite infinieLes suites de termes général $n$, $n^2$,...,$n^k$ ($k\in \N$), $\sqrt{n}$, $e^n$, $q^n$ ($q>1$) ont pour limite $+\infin$
Limite finieLes suites de termes général $\dfrac{1}{n}$, $\dfrac{1}{n^2}$,...,$\dfrac{1}{n^k}$ ($k\in \N$), $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$, $\dfrac{1}{q^n}$ ($q>1$), $\dfrac{1}{e^n}$, $q^n$ ($|q|<1$) ont pour limite $0$
Somme de limites
si $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=$ $l$ $l$ $l$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$
si $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}=$ $l'$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$ $-\infin$ $-\infin$
$\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}+v_{n}=$ $l+l'$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$ $-\infin$ Forme
indéterminée
Produit de limites
si $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=$ $l$ $l\not = 0$ $\infin$ $0$
si $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}=$ $l'$ $\infin$ $\infin$ $\infin$
$\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}\times v_{n}=$ $l\times l'$ $\infin$ $\infin$ Forme
indéterminée
Quotient de limites
si $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=$ $l$ $l\not = 0$ $l$ $\infin$ $\infin$ $0$
si $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}=$ $l'\not = 0$ $0$ $\infin$ $l$ $\infin$ $0$
$\lim\limits_{n \to +\infin }\dfrac{u_{n}}{v_{n}}=$ $\dfrac{l}{l'}$ $\infin$ $0$ $\infin$ Forme
indéterminée		 Forme
indéterminée
Théorème de comparaison, Limite InfinieSoient 2 suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ telles que $u_{n}\leq v_{n}$ à partir d'un certain rang.
  • Si $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=+\infin$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}=+\infin$
  • Si $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}=-\infin$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=-\infin$
Théorème de comparaison, Limite FinieSoient 2 suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ telles que $u_{n}\leq v_{n}$ à partir d'un certain rang.

Si $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}=l$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}\leq l$

Théorème des gendarmesSoient 3 suites $(u_{n})$, $(v_{n})$, $(w_{n})$ telles que $u_{n}\leq v_{n}\leq w_{n}$ à partir d'un certain rang.

Si $(u_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers une limite finie $l$ alors $(v_{n})$ converge vers $l$

Suites arithmétiquesSoit $(u_{n})$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{0}$
  • Si $r>0$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=+\infin$
  • Si $r<0$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=-\infin$
  • Si $r=0$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=u_{0}$
Limite de  $q^n$Soit $q$ un nombre réel et $n$ un entier naturel
  • Si $0< q<1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }q^n=0$
  • Si $q>1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }q^n=+\infin$
  • Si $q=1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }q^n=1$
Suites géométriquesSoit $(u_{n})$ une suite géométrique de premier terme $u_{0}$ et raison $q>0$
  • Si $0< q<1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=0$
  • Si $q=1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=u_{0}$
  • Si $q>1$ et $u_{0}>0$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=+\infin$
  • Si $q>1$ et $u_{0}<0$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=-\infin$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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