Suites et Limites

Exercices, évaluations et cours - Niveau Terminale Spécialité.

Par où commencer ?

Sur chaque chapitre, suis cet ordre pour progresser efficacement.

  1. 1. Apprendre — résumé et méthodes vidéo
  2. 2. Exercices — t’entraîner par niveau
  3. 3. Évaluations — te tester (quiz / contrôles)
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Intermediaire

Intermediaire

8 exercices

Limites et puissances

Intermédiaire Premium

Déterminer la limite des suites suivantes

  1. $u_{n}=3(\frac{1}{4})^n$
  2. $v_{n}=-2(\frac{6}{5})^n$
  3. $w_{n}=(\frac{3}{4})^n+2(0,8)^n-n^2$
  4. $t_{n}=3e^n+e^{-n}$
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Suites géométriques et limites

Intermédiaire

Soit $u_{n}$ la suite définie par $u_{0}=150$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=0,8u_{n}+45$.

  1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ définie par $v_{n}=u_{n}-225$ est géométrique et préciser son premier terme et sa raison
  2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$
  3. En déduire la limite de $(v_{n})$ puis $(u_{n})$
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Plus de formes indéterminées

Intermédiaire Premium

Déterminer la limite des suites suivantes

  1. $u_{n}=\dfrac{3n^2-2n+5}{-n^2+4n-1}$
  2. $v_{n}=4n^3-n\sqrt{n}$
  3. $w_{n}=\dfrac{(n-1)(n+4)}{2n^2-n+3}$
  4. $t_{n}=2e^n-n^5+e^{-n^2}$
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Théorème de comparaison

Intermédiaire Premium

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{n}=n^2-(-1)^n$

  1. Montrer que pour tout entier $n$ on a:
    $u_{n}\geq n^2-1$
  2. En déduire la limite de la suite
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Limites de suites arithmétiques et géométriques

Intermédiaire Premium

Déterminer la limite des suites ci-dessous

  1. Suite arithmétique de premier terme $u_{0}=-3$ et raison $r=1,5$
  2. Suite géométrique de premier terme $v_{0}=5$ et raison $q=\frac{1}{3}$
  3. Suite géométrique de premier terme $w_{0}=-\frac{3}{4}$ et raison $q=5$
  4. Suite géométrique de premier terme $t_{0}=-1$ et raison $q=\frac{5}{2}$
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Suites majorées, minorées, bornées

Intermédiaire Premium

Montrer que les suites suivantes sont:

  1. $u_{n}=5+\dfrac{1}{n}$ - bornée
  2. $v_{n}=n^2-3(-1)^n$ - minorée
  3. $w_{n}=-\sqrt{n}+3e^{-n}$ - majorée
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Théorème de convergence monotone

Intermédiaire Premium

Soit la suite: $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n}+1$ et $u_{0}=4$

  1. Montrer par récurrence que la suite est minorée par 2
  2. En déduire que la suite est décroissante
  3. Que peut-on en conclure pour sa convergence?
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Utiliser la définition de la convergence

Intermédiaire Premium

Soit $u_{n}=1+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$

  1. Quelle est la limite de cette suite en utilisant les théorèmes du cours?
  2. Soit $\epsilon$ un nombre réel strictement positif quelconque. Montrer qu'il existe un entier $N$ tel que $|u_{N}-1| < \epsilon$.
  3. En déduire que pour tout $n\geq N$, $|u_{n}-1| < \epsilon$.
  4. Conclure
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Résumé de cours

Suites et Limites

Suites et limites

Limite infinie

Les suites de terme général ci-dessous ont pour limite $+\infty$ :

Puissances

$n$, $n^2$, …, $n^k$ ($k\in\mathbb{N}$), $\sqrt{n}$

Exponentielles

$e^n$, $q^n$ ($q > 1$)

Limite finie

Les suites de terme général ci-dessous ont pour limite $0$ :

Inverses de puissances

$\dfrac{1}{n}$, $\dfrac{1}{n^2}$, …, $\dfrac{1}{n^k}$ ($k\in\mathbb{N}$), $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$

Inverses d'exponentielles

$\dfrac{1}{q^n}$ ($q > 1$), $\dfrac{1}{e^n}$, $q^n$ ($|q| < 1$)

Somme de limites
$\lim u_n$ $l$ $l$ $l$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$
$\lim v_n$ $l'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$
$\lim(u_n+v_n)$ $l+l'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ Forme
indét.
Produit de limites
$\lim u_n$ $l$ $l\neq 0$ $\infty$ $0$
$\lim v_n$ $l'$ $\infty$ $\infty$ $\infty$
$\lim(u_n\times v_n)$ $l\times l'$ $\infty$ $\infty$ Forme
indét.
Quotient de limites
$\lim u_n$ $l$ $l\neq 0$ $l$ $\infty$ $\infty$ $0$
$\lim v_n$ $l'\neq 0$ $0$ $\infty$ $l$ $\infty$ $0$
$\lim\dfrac{u_n}{v_n}$ $\dfrac{l}{l'}$ $\infty$ $0$ $\infty$ F.I. F.I.

F.I. = forme indéterminée

Théorème de comparaison — limite infinie

Soient 2 suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que $u_n\leq v_n$ à partir d'un certain rang.

1

$\displaystyle\text{Si }\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$

2

$\displaystyle\text{Si }\lim_{n\to+\infty}v_n=-\infty\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$

Théorème de comparaison — limite finie

Soient 2 suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que $u_n\leq v_n$ à partir d'un certain rang.

$$\text{Si }\lim_{n\to+\infty}v_n=l\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n\leq l$$

Théorème des gendarmes

Soient 3 suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ telles que $u_n\leq v_n\leq w_n$ à partir d'un certain rang.

Si $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers une limite finie $l$, alors $(v_n)$ converge vers $l$

Suites arithmétiques

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$.

+

$\displaystyle\text{Si }r > 0\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$

−

$\displaystyle\text{Si }r < 0\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$

0

$\displaystyle\text{Si }r=0\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=u_0$

$\text{Limite de }q^n$

Soit $q$ un nombre réel et $n$ un entier naturel.

$0 < q < 1$

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^n=0$

$q=1$

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^n=1$

$q > 1$

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty$

Suites géométriques

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q > 0$.

1

$\displaystyle\text{Si }0 < q < 1\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=0$

2

$\displaystyle\text{Si }q=1\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=u_0$

3

$\displaystyle\text{Si }q > 1\text{ et }u_0 > 0\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$

4

$\displaystyle\text{Si }q > 1\text{ et }u_0 < 0\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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