Suites et Limites

Exercices, quiz et cours - Niveau Terminale Spécialité.

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Basique

Basique

6 exercices

Somme de limites

Basique

Déterminer la limite de la suite $u$

  1. $u_{n}=n^2+n$
  2. $u_{n}=-2n+1-n^3$
  3. $u_{n}=3\sqrt{n}+\frac{1}{n}$
  4. $u_{n}=-n^3+\frac{5}{n^2}$

Produit de limites

Basique

Déterminer la limite des suites suivantes

  1. $u_{n}=(1-n^2)(2n+1)$
  2. $v_{n}=(-n^3-n)(\frac{n}{2}-1)$
  3. $w_{n}=-n(-\sqrt{n}+3)$

Quotient de limites

Basique

Déterminer la limite des suites suivantes

  1. $u_{n}=\dfrac{2-n}{3+\frac{5}{n}}$
  2. $v_{n}=\dfrac{\frac{-1}{n}-2}{n^2+1}$
  3. $w_{n}=\dfrac{5+\frac{1}{n}}{-2+\frac{1}{n}}$

Formes indéterminées: premiers exemples

Basique

Déterminer la limite des suites suivantes

  1. $u_{n}=n^2-n+1$
  2. $v_{n}=-2n^3+5n^2-n-1$
  3. $w_{n}=2n^3-5n^4+1$

Théorème de Comparaison, première application

Basique

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{n}=2n+\sqrt{1+n^2}$

  1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n}\geq 2n$
  2. En déduire la limite de la suite $(u_{n})$

Théorème des Gendarmes, première application

Basique

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{n}=\dfrac{cos(n)}{n}$

  1. Expliquer pourquoi la limite de cette suite est une forme indéterminée
  2. En utilisant le fait que $-1\leq cos(n)\leq 1$ montrer que $\frac{-1}{n}\leq u_{n}\leq \frac{1}{n}$
  3. En déduire la limite de la suite $(u_{n})$

Résumé de cours

Suites et Limites

Suites et limites

Limite infinieLes suites de termes général $n$, $n^2$,...,$n^k$ ($k\in \N$), $\sqrt{n}$, $e^n$, $q^n$ ($q>1$) ont pour limite $+\infin$
Limite finieLes suites de termes général $\dfrac{1}{n}$, $\dfrac{1}{n^2}$,...,$\dfrac{1}{n^k}$ ($k\in \N$), $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$, $\dfrac{1}{q^n}$ ($q>1$), $\dfrac{1}{e^n}$, $q^n$ ($|q|<1$) ont pour limite $0$
Somme de limites
si $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=$ $l$ $l$ $l$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$
si $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}=$ $l'$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$ $-\infin$ $-\infin$
$\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}+v_{n}=$ $l+l'$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$ $-\infin$ Forme
indéterminée
Produit de limites
si $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=$ $l$ $l\not = 0$ $\infin$ $0$
si $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}=$ $l'$ $\infin$ $\infin$ $\infin$
$\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}\times v_{n}=$ $l\times l'$ $\infin$ $\infin$ Forme
indéterminée
Quotient de limites
si $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=$ $l$ $l\not = 0$ $l$ $\infin$ $\infin$ $0$
si $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}=$ $l'\not = 0$ $0$ $\infin$ $l$ $\infin$ $0$
$\lim\limits_{n \to +\infin }\dfrac{u_{n}}{v_{n}}=$ $\dfrac{l}{l'}$ $\infin$ $0$ $\infin$ Forme
indéterminée		 Forme
indéterminée
Théorème de comparaison, Limite InfinieSoient 2 suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ telles que $u_{n}\leq v_{n}$ à partir d'un certain rang.
  • Si $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=+\infin$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}=+\infin$
  • Si $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}=-\infin$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=-\infin$
Théorème de comparaison, Limite FinieSoient 2 suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ telles que $u_{n}\leq v_{n}$ à partir d'un certain rang.

Si $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}=l$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}\leq l$

Théorème des gendarmesSoient 3 suites $(u_{n})$, $(v_{n})$, $(w_{n})$ telles que $u_{n}\leq v_{n}\leq w_{n}$ à partir d'un certain rang.

Si $(u_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers une limite finie $l$ alors $(v_{n})$ converge vers $l$

Suites arithmétiquesSoit $(u_{n})$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{0}$
  • Si $r>0$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=+\infin$
  • Si $r<0$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=-\infin$
  • Si $r=0$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=u_{0}$
Limite de  $q^n$Soit $q$ un nombre réel et $n$ un entier naturel
  • Si $0< q<1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }q^n=0$
  • Si $q>1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }q^n=+\infin$
  • Si $q=1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }q^n=1$
Suites géométriquesSoit $(u_{n})$ une suite géométrique de premier terme $u_{0}$ et raison $q>0$
  • Si $0< q<1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=0$
  • Si $q=1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=u_{0}$
  • Si $q>1$ et $u_{0}>0$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=+\infin$
  • Si $q>1$ et $u_{0}<0$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=-\infin$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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