Suites et Limites

Exercices, évaluations et cours - Niveau Terminale Spécialité.

Par où commencer ?

Sur chaque chapitre, suis cet ordre pour progresser efficacement.

  1. 1. Apprendre — résumé et méthodes vidéo
  2. 2. Exercices — t’entraîner par niveau
  3. 3. Évaluations — te tester (quiz / contrôles)
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Basique

Basique

6 exercices

Somme de limites

Basique Premium

Déterminer la limite de la suite $u$

  1. $u_{n}=n^2+n$
  2. $u_{n}=-2n+1-n^3$
  3. $u_{n}=3\sqrt{n}+\frac{1}{n}$
  4. $u_{n}=-n^3+\frac{5}{n^2}$
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Produit de limites

Basique Premium

Déterminer la limite des suites suivantes

  1. $u_{n}=(1-n^2)(2n+1)$
  2. $v_{n}=(-n^3-n)(\frac{n}{2}-1)$
  3. $w_{n}=-n(-\sqrt{n}+3)$
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Quotient de limites

Basique Premium

Déterminer la limite des suites suivantes

  1. $u_{n}=\dfrac{2-n}{3+\frac{5}{n}}$
  2. $v_{n}=\dfrac{\frac{-1}{n}-2}{n^2+1}$
  3. $w_{n}=\dfrac{5+\frac{1}{n}}{-2+\frac{1}{n}}$
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Formes indéterminées: premiers exemples

Basique Premium

Déterminer la limite des suites suivantes

  1. $u_{n}=n^2-n+1$
  2. $v_{n}=-2n^3+5n^2-n-1$
  3. $w_{n}=2n^3-5n^4+1$
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Théorème de Comparaison, première application

Basique Premium

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{n}=2n+\sqrt{1+n^2}$

  1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n}\geq 2n$
  2. En déduire la limite de la suite $(u_{n})$
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Théorème des Gendarmes, première application

Basique Premium

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{n}=\dfrac{cos(n)}{n}$

  1. Expliquer pourquoi la limite de cette suite est une forme indéterminée
  2. En utilisant le fait que $-1\leq cos(n)\leq 1$ montrer que $\frac{-1}{n}\leq u_{n}\leq \frac{1}{n}$
  3. En déduire la limite de la suite $(u_{n})$
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Résumé de cours

Suites et Limites

Suites et limites

Limite infinie

Les suites de terme général ci-dessous ont pour limite $+\infty$ :

Puissances

$n$, $n^2$, …, $n^k$ ($k\in\mathbb{N}$), $\sqrt{n}$

Exponentielles

$e^n$, $q^n$ ($q > 1$)

Limite finie

Les suites de terme général ci-dessous ont pour limite $0$ :

Inverses de puissances

$\dfrac{1}{n}$, $\dfrac{1}{n^2}$, …, $\dfrac{1}{n^k}$ ($k\in\mathbb{N}$), $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$

Inverses d'exponentielles

$\dfrac{1}{q^n}$ ($q > 1$), $\dfrac{1}{e^n}$, $q^n$ ($|q| < 1$)

Somme de limites
$\lim u_n$ $l$ $l$ $l$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$
$\lim v_n$ $l'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$
$\lim(u_n+v_n)$ $l+l'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ Forme
indét.
Produit de limites
$\lim u_n$ $l$ $l\neq 0$ $\infty$ $0$
$\lim v_n$ $l'$ $\infty$ $\infty$ $\infty$
$\lim(u_n\times v_n)$ $l\times l'$ $\infty$ $\infty$ Forme
indét.
Quotient de limites
$\lim u_n$ $l$ $l\neq 0$ $l$ $\infty$ $\infty$ $0$
$\lim v_n$ $l'\neq 0$ $0$ $\infty$ $l$ $\infty$ $0$
$\lim\dfrac{u_n}{v_n}$ $\dfrac{l}{l'}$ $\infty$ $0$ $\infty$ F.I. F.I.

F.I. = forme indéterminée

Théorème de comparaison — limite infinie

Soient 2 suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que $u_n\leq v_n$ à partir d'un certain rang.

1

$\displaystyle\text{Si }\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$

2

$\displaystyle\text{Si }\lim_{n\to+\infty}v_n=-\infty\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$

Théorème de comparaison — limite finie

Soient 2 suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que $u_n\leq v_n$ à partir d'un certain rang.

$$\text{Si }\lim_{n\to+\infty}v_n=l\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n\leq l$$

Théorème des gendarmes

Soient 3 suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ telles que $u_n\leq v_n\leq w_n$ à partir d'un certain rang.

Si $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers une limite finie $l$, alors $(v_n)$ converge vers $l$

Suites arithmétiques

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$.

+

$\displaystyle\text{Si }r > 0\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$

−

$\displaystyle\text{Si }r < 0\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$

0

$\displaystyle\text{Si }r=0\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=u_0$

$\text{Limite de }q^n$

Soit $q$ un nombre réel et $n$ un entier naturel.

$0 < q < 1$

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^n=0$

$q=1$

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^n=1$

$q > 1$

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty$

Suites géométriques

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q > 0$.

1

$\displaystyle\text{Si }0 < q < 1\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=0$

2

$\displaystyle\text{Si }q=1\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=u_0$

3

$\displaystyle\text{Si }q > 1\text{ et }u_0 > 0\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$

4

$\displaystyle\text{Si }q > 1\text{ et }u_0 < 0\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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