Déterminer la limite des suites suivantes

1. $u_{n}=3(\frac{1}{4})^n$
2. $v_{n}=-2(\frac{6}{5})^n$
3. $w_{n}=(\frac{3}{4})^n+2(0,8)^n-n^2$
4. $t_{n}=3e^n+e^{-n}$

Soit $u_{n}$ la suite définie par $u_{0}=150$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=0,8u_{n}+45$.

1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ définie par $v_{n}=u_{n}-225$ est géométrique et préciser son premier terme et sa raison
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$
3. En déduire la limite de $(v_{n})$ puis $(u_{n})$

Déterminer la limite des suites suivantes

1. $u_{n}=\dfrac{3n^2-2n+5}{-n^2+4n-1}$
2. $v_{n}=4n^3-n\sqrt{n}$
3. $w_{n}=\dfrac{(n-1)(n+4)}{2n^2-n+3}$
4. $t_{n}=2e^n-n^5+e^{-n^2}$

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{n}=n^2-(-1)^n$

1. Montrer que pour tout entier $n$ on a:
   $u_{n}\geq n^2-1$
2. En déduire la limite de la suite

Déterminer la limite des suites ci-dessous

1. Suite arithmétique de premier terme $u_{0}=-3$ et raison $r=1,5$
2. Suite géométrique de premier terme $v_{0}=5$ et raison $q=\frac{1}{3}$
3. Suite géométrique de premier terme $w_{0}=-\frac{3}{4}$ et raison $q=5$
4. Suite géométrique de premier terme $t_{0}=-1$ et raison $q=\frac{5}{2}$

Montrer que les suites suivantes sont:

1. $u_{n}=5+\dfrac{1}{n}$ - bornée
2. $v_{n}=n^2-3(-1)^n$ - minorée
3. $w_{n}=-\sqrt{n}+3e^{-n}$ - majorée

Soit la suite: $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n}+1$ et $u_{0}=4$

1. Montrer par récurrence que la suite est minorée par 2
2. En déduire que la suite est décroissante
3. Que peut-on en conclure pour sa convergence?

Soit $u_{n}=1+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$

1. Quelle est la limite de cette suite en utilisant les théorèmes du cours?
2. Soit $\epsilon$ un nombre réel strictement positif quelconque. Montrer qu'il existe un entier $N$ tel que $|u_{N}-1|<\epsilon$.
3. En déduire que pour tout $n\geq N$, $|u_{n}-1|<\epsilon$.
4. Conclure

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0}=75$ et $u_{n+1}=0,6u_{n}+50$

1. Montrer que pour tout entier $n$, $u_{n} < u_{n+1}\leq 125$
2. En déduire que la suite est convergente
3. Montrer que la limite $l$ de cette suite est solution de l'équation $x=0,6x+50$ et deduire sa valeur

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0}=3$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}(u_{n}+\dfrac{7}{u_{n}})$ et $f$ la fonction définie sur $]0;+\infin[$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}(x+\dfrac{7}{x})$

1. Montrer que $f$ admet un minimum sur $]0;+\infin[$. En déduire que $u_{n}\geq \sqrt{7}$ pour tout entier naturel $n$.
2. Déterminer le signe de $u_{n+1}-u_{n}$
3. La suite est-elle convergente?
4. Montrer que la limite $l$ de cette suite est solution de l'équation $x=\dfrac{1}{2}(x+\dfrac{7}{x})$ et en déduire sa valeur

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0}=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_{n}+\dfrac{2}{3}n+1$.

1. On considère la suite $(v_{n})$ définie par $v_{0}=1$ et $v_{n}=u_{n}-n$. Prouver que $(v_{n})$ est géométrique et préciser sa raison.
2. En déduire que $u_{n}=(\dfrac{1}{3})^n+n$ pour tout entier naturel $n$ et déterminer la limite de $(u_{n})$
3. On pose $S_{n}=u_{0}+u_{1}+...+u_{n}$. Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$
4. En déduire la limite de la suite de terme général $\dfrac{S_{n}}{n^2}$

Soit $(u_{n})$ la suite de terme général: $u_{n}=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}=\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{i}}$

1. Pour tout entier $k$ tel que $1\leq k\leq n$, montrer que $\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{k}}\leq 1$
2. En déduire que $u_{n}\geq \sqrt{n}$ pour tout entier $n>0$
3. Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$

On admet que la suite de terme général $u_{n}=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k!}$ converge vers la constante d'Euler $e$.

1. Écrire un programme Python qui calcule le n-ième terme de cette suite.
2. Compléter le programme suivant qui permet d'avoir une valeur approchée de la limite à 0,01 près.

  u=1
  n=0
  while .. ≥ ..:
    n = ...
    u = ...
  

3. Utiliser la calculatrice pour donner le résultat de l'algorithme précédent.