Suites et Limites

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Résumé de cours

Suites et Limites

Suites et limites

Limite infinie

Les suites de terme général ci-dessous ont pour limite $+\infty$ :

Puissances

$n$, $n^2$, …, $n^k$ ($k\in\mathbb{N}$), $\sqrt{n}$

Exponentielles

$e^n$, $q^n$ ($q > 1$)

Limite finie

Les suites de terme général ci-dessous ont pour limite $0$ :

Inverses de puissances

$\dfrac{1}{n}$, $\dfrac{1}{n^2}$, …, $\dfrac{1}{n^k}$ ($k\in\mathbb{N}$), $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$

Inverses d'exponentielles

$\dfrac{1}{q^n}$ ($q > 1$), $\dfrac{1}{e^n}$, $q^n$ ($|q| < 1$)

Somme de limites
$\lim u_n$ $l$ $l$ $l$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$
$\lim v_n$ $l'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$
$\lim(u_n+v_n)$ $l+l'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ Forme
indét.
Produit de limites
$\lim u_n$ $l$ $l\neq 0$ $\infty$ $0$
$\lim v_n$ $l'$ $\infty$ $\infty$ $\infty$
$\lim(u_n\times v_n)$ $l\times l'$ $\infty$ $\infty$ Forme
indét.
Quotient de limites
$\lim u_n$ $l$ $l\neq 0$ $l$ $\infty$ $\infty$ $0$
$\lim v_n$ $l'\neq 0$ $0$ $\infty$ $l$ $\infty$ $0$
$\lim\dfrac{u_n}{v_n}$ $\dfrac{l}{l'}$ $\infty$ $0$ $\infty$ F.I. F.I.

F.I. = forme indéterminée

Théorème de comparaison — limite infinie

Soient 2 suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que $u_n\leq v_n$ à partir d'un certain rang.

1

$\displaystyle\text{Si }\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$

2

$\displaystyle\text{Si }\lim_{n\to+\infty}v_n=-\infty\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$

Théorème de comparaison — limite finie

Soient 2 suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que $u_n\leq v_n$ à partir d'un certain rang.

$$\text{Si }\lim_{n\to+\infty}v_n=l\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n\leq l$$

Théorème des gendarmes

Soient 3 suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ telles que $u_n\leq v_n\leq w_n$ à partir d'un certain rang.

Si $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers une limite finie $l$, alors $(v_n)$ converge vers $l$

Suites arithmétiques

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$.

+

$\displaystyle\text{Si }r > 0\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$

−

$\displaystyle\text{Si }r < 0\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$

0

$\displaystyle\text{Si }r=0\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=u_0$

$\text{Limite de }q^n$

Soit $q$ un nombre réel et $n$ un entier naturel.

$0 < q < 1$

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^n=0$

$q=1$

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^n=1$

$q > 1$

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty$

Suites géométriques

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q > 0$.

1

$\displaystyle\text{Si }0 < q < 1\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=0$

2

$\displaystyle\text{Si }q=1\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=u_0$

3

$\displaystyle\text{Si }q > 1\text{ et }u_0 > 0\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$

4

$\displaystyle\text{Si }q > 1\text{ et }u_0 < 0\text{ alors }\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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