On considère l'expérience aléatoire suivante: on lance un dé à 6 faces plusieurs fois de suite, de façon identique et indépendante. On note le succès l'évenement: "obtenir un 6".

1. Définir l'évenement qui correspond à l'échec dans cette épreuve de Bernoulli
2. Représenter cette epreuve de Bernoulli par un arbre
3. On lance désormais le dé 3 fois de suite: représenter la situation par un arbre
4. Combien de chemins comprennent 2 succès? 1 succès? 0 et 3 succès?
5. Déterminer la probabilité d'obtenir 2 fois un 6

On considère les expériences aléatoires ci-dessous. Pour chacune d'elles préciser s'il s'agit d'un schéma de Bernoulli.

1. Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher, 5 vertes et 3 rouges. On tire successivement et avec remise 4 boules. On s'intéresse au nombre de boules rouges tirées.
2. On tire successivement avec remise 3 cartes dans un jeu de 52 cartes. On s'intéresse à la valeur des cartes tirées
3. On tire 5 fois de suite une pièce non équilibrée avec probabilité d'obtenir pile 0,7. On s'intéresse au nombre total de faces obtenues.
4. On tire successivement 2 chocolats sans les remettre dans une boite qui contient 4 chocolats noirs et 4 chocolats au lait. On compte le nombre de chocolats noirs obtenus.

On considère $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres 15 et 0,28.

1. Exprimer $P(X=0)$ et déterminer sa valeur
2. Exprimer $P(X=6)$ et déterminer sa valeur
3. Exprimer $P(X\geq 1)$ en fonction de $P(X=0)$ et déterminer sa valeur
4. Exprimer $P(X\geq 14)$ et déterminer sa valeur
5. Exprimer $P(12\leq X\leq 13)$ et déterminer sa valeur

Un sac contient 100 jetons indiscernables au toucher dont 42 sont verts et 58 sont bleus. On prend au hasard un jeton, on regarde sa couleur et on le replace dans le sac. On répète en tout 3 fois de suite cette expérience et on s'intéresse au nombre de jetons verts tirés.

1. Expliquer pourquoi chaque tirage correspond à une epréuve de Bernoulli et construire le tableau de sa loi de probabilité
2. Justifier que l'on peut associer un schéma de Bernoulli à cette expérience.
3. Représenter ce schéma par un arbre pondéré
4. En déduire la probabilité d'obtenir 3 jetons de la même couleur

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $B(8; 0,45)$. Sur l'arbre pondéré modélisant cette loi, combien de chemins correspondent à:

1. 1 succès
2. 3 succès
3. 8 succès
4. Que représente $\binom{8}{2}$?
5. Peut-on dire que $\binom{8}{0}=1$?

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $B(20; 0,01)$.

1. $P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$
2. $P((X>13)\cap (X\leq 17)$
3. $P(X\geq 7)-P(X\geq 10)$
4. $P(X=15)+P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)$
5. $P(X\geq 14)+P(X=13)$

Chaque jour où il travaille Paul doit se rendre à la gare pour rejoindre son lieu de travail en train. Pour cela, il prend son vélo deux fois sur trois, et s'il ne prend pas son vélo, il prend sa voiture.
Lorsqu'il prend son vélo, Paul ne rate le train qu'une fois sur 50, alors que s'il prend la voiture, il le rate une fois sur 10.
$V$: "Paul prend son vélo pour rejoindre la gare"
$R$: "Paul rate son train"

1. Faire un arbre pondéré résumant la situation
2. Montrer que la probabilité que Paul rate son train est égale à $\frac{7}{150}$
3. Paul a raté son train. Déterminer la valeur exacte de la probabilité qu'il ait pris son vélo pour rejoindre la gare.

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la binomiale $B(22; 0,13)$. Calculer les probabilités suivantes en détaillant la démarche.

1. $P_{X\geq 4}(X<12)$
2. $P_{X<11}(X=7)$
3. $P_{8\leq X\leq 15}(X<17)$
4. $P_{X<21}(16\leq X\leq 19)$
5. $P_{X\leq 5}(X>6)$

Chaque jour dans une classe de 25 élèves chaque élève arrive en retard indépendamment des autres avec probabilité 0,08. On s'intéresse au nombre d'élèves en retard. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'élèves en retard un certain jour.

1. Déterminer la loi suivie par $X$ et préciser ses paramètres
2. Calculer l'espérance de $X$ et interpréter
3. Quelle est la probabilité que 2 élèves soient en retard?
4. Quelle est la probabilité qu'au moins 1 élève soit en retard?
5. Quelle est la probabilité qu'au maximum 4 élèves soient en retard?

On lance simultanément 2 dés non truqués à 6 faces. On s'intéresse à la somme des 2 chiffres obtenus.

1. Si on fait 1 lancer des 2 dés, quelle est la probabilité d'obtenir une somme supérieure ou égale à 9?
2. Au bout de 15 lancers quelle est la probabilité d'avoir obtenu 10 fois un total supérieur ou égal à 10?
3. Au bout de 20 lancers quelle est la probabilité d'avoir obtenu 10 fois un total compris entre 4 et 6?

Le programme Python ci-dessous permet de simuler une expérience aléatoire. Déterminer à partir de ce programme la loi suivie par la variable aléatoire $X$ et préciser ses paramètres

On choisit $n$ personnes au hasard (avec $n$ un entier naturel non nul) dans une population, et on assimile ces tirages à des tirages indépendants avec remise. La probabilité qu'une personne soit gauchère est de 12%.

1. Exprimer en fonction de $n$ la probabilité $p_n$ d'avoir au moins 1 gaucher dans le groupe de $n$ personnes.
2. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $p_n \geq 0,99$. Interpréter cette inégalité avec une phrase.
3. Écrire un algorithme Python qui détermine le plus petit entier $n$ tel que $p_n \geq 0,99$
4. Déterminer cette valeur avec la calculatrice

La loi de probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi binomiale est donnée ci-dessous.

1. Calculer la probabilité manquante
2. Calculer $E(X)$
3. Calculer $P(X\geq 4)$
4. Peut-on affirmer que $P_{X\leq 3}(X\geq 2)=0,631$?
5. Déterminer les paramètres de cette loi binomiale