Limites de fonctions

Exercices, évaluations et cours - Niveau Terminale Spécialité.

Par où commencer ?

Sur chaque chapitre, suis cet ordre pour progresser efficacement.

  1. 1. Apprendre — résumé et méthodes vidéo
  2. 2. Exercices — t’entraîner par niveau
  3. 3. Évaluations — te tester (quiz / contrôles)
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Intermediaire

5 exercices

Étude de fonctions avec limites et asymptotes

Intermédiaire Premium

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{2x^2-5x+1}{-x^2+4x-3}$

  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$
  2. Déterminer les limites au bornes de l'ensemble de définition
  3. En déduire une équation de chaque asymptote éventuelle
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Limites avec théoremes de comparaison ou gendarmes

Intermédiaire Premium

Déterminer les limites suivantes en $+\infin$ en utilisant les théorèmes de comparaison ou des gendarmes

  1. Pour tout réel $x$, $f(x)\geq 3x$
  2. Pour tout réel $x$, $1-\frac{1}{x}\leq f(x)\leq 1+\frac{1}{x}$
  3. Pour tout réel $x$, $f(x)=(5+cos(x))x^3$
  4. Pour tout réel $x$, $f(x)=2+\frac{sin(x)}{x}$
  5. Pour tout réel $x$, $f(x)=x^4+\frac{\sqrt{x^2+1}}{5x}$
  6. Pour tout réel $x$, $f(x)=sin(\frac{1}{x})-\frac{1}{3x}$ quand x tend vers $0^+$
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Limites avec croissance comparée

Intermédiaire Premium

Déterminer les limites en $+\infin$ et $-\infin$

  1. $f(x)=\dfrac{e^x-5x^2}{x^3+1}$
  2. $f(x)=\dfrac{e^x+3x}{e^x-x^2}$
  3. $f(x)=e^{-x}+3x^2-1$ en $-\infin$
  4. $f(x)=e^{-2x}-e^{-x}$ en $-\infin$
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Limites par composition

Intermédiaire Premium

Déterminer les limites des fonctions suivantes

  1. $f(x)=e^{-x^2}$ quand $x\to +\infin$
  2. $g(x)=cos(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}})$ quand $x\to +\infin$
  3. $h(x)=e^{3x^2-5x+1}$ quand $x\to +\infin$ et $x\to -\infin$
  4. $k(x)=(1-3x+x^2)^3$ quand $x\to +\infin$ et $x\to -\infin$
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Étude des limites pour faire un tableau de variations

Intermédiaire Premium

D'après Bac Asie 2023

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=e^{2x}-e^x+1$

  1. Déterminer $\lim\limits_{x \to -\infin}g(x)$
  2. Montrer que $\lim\limits_{x \to +\infin}g(x)=+\infin$
  3. Montrer que $g'(x)=e^x (2e^x-1)$ pour tout $x\in \R$
  4. Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$
    Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s'il y en a, ainsi que les limites de $g$ en $+\infin$ et $-\infin$
  5. En déduire le signe de $g$ sur $\R$
  6. Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question 5 en posant $X=e^x$
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Avance

2 exercices

Limites et fonction partie entière

Avancé Premium

On considère la fonction partie entière $y=E(x)$. $E(x)$ est le plus entier relatif inférieur ou égal à $x$. Par exemple, $E(2,7)=2$, $E(8)=8$ ou $E(-4,1)=-5$.
On a donc $\forall x\in \R$, $E(x) \leq x < E(x)+1$.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=xE(\frac{1}{x})$

  1. Calculer les limites de $f$ en $+\infin$ et $-\infin$
  2. Montrer que $\forall x\in \R$ on a $x-1 < E(x) \leq x$
  3. Montrer que pour tout $x > 0$, $1-x < f(x) \leq 1$ et en déduire $\lim\limits_{x \to 0^+ }f(x)$
  4. Montrer que pour tout $x < 0$, $1\leq f(x) < 1-x$ et en déduire $\lim\limits_{x \to 0^- }f(x)$
  5. Conclure
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Étude d'une asymptote oblique

Avancé Premium

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^2-5x+1}{x}$ de courbe représentative $C_f$.

  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$ et calculer la limite de $f$ en $0$. Que peut-on conclure sur $C_f$
  2. Déterminer les limites de $f$ en $+\infin$ et $-\infin$

    3. Soit $g$ la fonction définie sur $\R^*$ par $g(x)=f(x)-(x-5)$

  3. Montrer que $\lim\limits_{x \to +\infin }g(x)=\lim\limits_{x \to -\infin }g(x)=0$

    4. On dit que la droite d'équation $y=x-5$ est une asymptote oblique à $C_f$

Aide

Résumé de cours

Limites de fonctions

Limites de Fonctions

$\text{Limite }+\infty\text{ en }+\infty$

Si pour tout $A\in \mathbb{R}$ il existe un nombre $x_0$ tel que $f(x)\in ]A;+\infty[$ si $x\geq x_0$, alors on dit que

$$\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$$

$\text{Fonctions de référence }(+\infty)$
$x\mapsto x^n$ avec $n\in \mathbb{N}^*$, $x\mapsto \sqrt{x}$, $x\mapsto e^{x}$ ont pour limite $+\infty$ en $+\infty$
$\text{Limite }-\infty\text{ en }+\infty$

Si pour tout $A\in \mathbb{R}$ il existe un nombre $x_0$ tel que $f(x)\in ]-\infty;A[$ si $x\geq x_0$, alors on dit que

$$\lim_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$$

$\text{Fonctions de référence }(-\infty)$
$x\mapsto -x^n$ avec $n\in \mathbb{N}^*$, $x\mapsto -\sqrt{x}$, $x\mapsto -e^{x}$ ont pour limite $-\infty$ en $+\infty$
$\text{Limite finie en }+\infty$

Dire que

$$\lim_{x \to +\infty}f(x)=l$$

signifie que pour tout intervalle ouvert contenant $l$ on peut trouver une valeur de $x$ à partir de laquelle toutes les valeurs de $f(x)$ appartiennent à cet intervalle ouvert.

Fonctions de référence (limite 0)
$x\mapsto \frac{1}{x^n}$ avec $n\in \mathbb{N}^*$, $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$ ont pour limite $0$ en $+\infty$
$\text{Limite infinie en }a\in \mathbb{R}$

Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ signifie que tout intervalle de la forme $]A ; +\infty[$ (avec $A$ un nombre réel) contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$. On note

$$\lim_{x \to a}f(x)=+\infty$$

Exemples de limites

$$\lim_{x \to a^+}\frac{1}{x-a}=+\infty$$

$$\lim_{x \to a^-}\frac{1}{x-a}=-\infty$$

$$\lim_{x \to a}\frac{1}{(x-a)^2}=+\infty$$

Asymptote horizontale

La droite d'équation $y=l$ est une asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$ ou en $-\infty$ si

$$\lim_{x \to +\infty}f(x)=l\quad\text{ou}\quad\lim_{x \to -\infty}f(x)=l$$

Asymptote verticale

$$\text{Si }\lim_{x \to a}f(x)=+\infty\text{ ou }\lim_{x \to a}f(x)=-\infty\text{, la droite }x=a\text{ est asymptote verticale}$$

Somme de limites
$\lim f(x)$ $l$ $l$ $l$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$
$\lim g(x)$ $l'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$
$\lim (f+g)(x)$ $l+l'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ Forme
indét.		 $-\infty$
Produit de limites
$\lim f(x)$ $l$ $l > 0$ $l > 0$ $l < 0$ $l < 0$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $0$
$\lim g(x)$ $l'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $±\infty$
$\lim (f \times g)(x)$ $l \times l'$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ F.I.
Quotient de limites
$\lim f(x)$ $l$ $l$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $±\infty$
$\lim g(x)$ $l'≠0$ $±\infty$ $l' > 0$ $l' < 0$ $l' > 0$ $l' < 0$ $±\infty$
$\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ $\frac{l}{l'}$ $0$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ F.I.
Théorème de comparaison

Soient 2 fonctions $f$, $g$ telles que $f(x)\geq g(x)$ pour $x$ assez grand

$$\text{Si }\lim_{x \to +\infty} g(x)=+\infty\text{ alors }\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$$

Théorème des gendarmes

Soient 3 fonctions $f$, $g$, $h$ telles que $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ pour $x$ assez grand

$$\text{Si }\lim_{x \to +\infty} f(x)=l\text{ et }\lim_{x \to +\infty} h(x)=l\text{ alors }\lim_{x \to +\infty} g(x)=l$$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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