Limites de fonctions

Exercices, évaluations et cours - Niveau Terminale Spécialité.

Par où commencer ?

Sur chaque chapitre, suis cet ordre pour progresser efficacement.

  1. 1. Apprendre — résumé et méthodes vidéo
  2. 2. Exercices — t’entraîner par niveau
  3. 3. Évaluations — te tester (quiz / contrôles)
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Basique

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6 exercices

Somme de limites

Basique Premium

Déterminer les limites en $+\infin$ et $-\infin$ des fonctions suivantes

  1. $f(x)=2x-1$
  2. $g(x)=3x^2-\frac{1}{x}$
  3. $h(x)=1-e^{-x}$
  4. $i(x)=2x^3+5x-6$
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Quotient et produit de limites

Basique Premium

Déterminer les limites suivantes

  1. $\lim\limits_{x \to 0 }\dfrac{3x}{2\sqrt{x}-5}$
  2. $\lim\limits_{x \to 2^{+} }\dfrac{x-3}{5x-10}$
  3. $\lim\limits_{x \to -\infin }(x^2-1)(-\dfrac{3}{2}x+5)$
  4. $\lim\limits_{x \to 0^{-} }\dfrac{e^x+1}{e^x-1}$
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Limites à gauches et à droites avec quotient

Basique Premium

Déterminer les limites suivantes

  1. $\lim\limits_{x \to 3^+ }\dfrac{-5x}{4x-12}$
  2. $\lim\limits_{x \to 3^- }\dfrac{-5x}{4x-12}$
  3. $\lim\limits_{x \to -2^{-} }\dfrac{3x^2}{3+\frac{3}{2}x}$
  4. $\lim\limits_{x \to -2^{+} }\dfrac{3x^2}{3+\frac{3}{2}x}$
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Formes indéterminées

Basique Premium

Déterminer les limites suivantes

  1. $\lim\limits_{x \to +\infin }x^3-5x^2+3x+2$
  2. $\lim\limits_{x \to -\infin }\dfrac{3x^2-2x+7}{x^2-1}$
  3. $\lim\limits_{x \to +\infin }\dfrac{5e^x+1}{e^{2x}-3}$
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Lire limites et asymptotes sur un tableau de variations

Basique Premium

On donne le tableau de variation d'une fonction $f$ ci-dessous

  1. Déterminer les limites de la fonction grâce au tableau de variations
  2. Déterminer les éventuelles asymptotes et leurs équations
  3. Tracer une allure possible de la courbe
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Lire limites et asymptotes sur un graphique

Basique Premium

On considère les fonctions $f$ et $g$ représentées ci-dessous

  1. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions
  2. Conjecturer les limites éventuelles
  3. Conjecturer les équations des asymtptotes éventuelles
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Résumé de cours

Limites de fonctions

Limites de Fonctions

$\text{Limite }+\infty\text{ en }+\infty$

Si pour tout $A\in \mathbb{R}$ il existe un nombre $x_0$ tel que $f(x)\in ]A;+\infty[$ si $x\geq x_0$, alors on dit que

$$\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$$

$\text{Fonctions de référence }(+\infty)$
$x\mapsto x^n$ avec $n\in \mathbb{N}^*$, $x\mapsto \sqrt{x}$, $x\mapsto e^{x}$ ont pour limite $+\infty$ en $+\infty$
$\text{Limite }-\infty\text{ en }+\infty$

Si pour tout $A\in \mathbb{R}$ il existe un nombre $x_0$ tel que $f(x)\in ]-\infty;A[$ si $x\geq x_0$, alors on dit que

$$\lim_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$$

$\text{Fonctions de référence }(-\infty)$
$x\mapsto -x^n$ avec $n\in \mathbb{N}^*$, $x\mapsto -\sqrt{x}$, $x\mapsto -e^{x}$ ont pour limite $-\infty$ en $+\infty$
$\text{Limite finie en }+\infty$

Dire que

$$\lim_{x \to +\infty}f(x)=l$$

signifie que pour tout intervalle ouvert contenant $l$ on peut trouver une valeur de $x$ à partir de laquelle toutes les valeurs de $f(x)$ appartiennent à cet intervalle ouvert.

Fonctions de référence (limite 0)
$x\mapsto \frac{1}{x^n}$ avec $n\in \mathbb{N}^*$, $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$ ont pour limite $0$ en $+\infty$
$\text{Limite infinie en }a\in \mathbb{R}$

Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ signifie que tout intervalle de la forme $]A ; +\infty[$ (avec $A$ un nombre réel) contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$. On note

$$\lim_{x \to a}f(x)=+\infty$$

Exemples de limites

$$\lim_{x \to a^+}\frac{1}{x-a}=+\infty$$

$$\lim_{x \to a^-}\frac{1}{x-a}=-\infty$$

$$\lim_{x \to a}\frac{1}{(x-a)^2}=+\infty$$

Asymptote horizontale

La droite d'équation $y=l$ est une asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$ ou en $-\infty$ si

$$\lim_{x \to +\infty}f(x)=l\quad\text{ou}\quad\lim_{x \to -\infty}f(x)=l$$

Asymptote verticale

$$\text{Si }\lim_{x \to a}f(x)=+\infty\text{ ou }\lim_{x \to a}f(x)=-\infty\text{, la droite }x=a\text{ est asymptote verticale}$$

Somme de limites
$\lim f(x)$ $l$ $l$ $l$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$
$\lim g(x)$ $l'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$
$\lim (f+g)(x)$ $l+l'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ Forme
indét.		 $-\infty$
Produit de limites
$\lim f(x)$ $l$ $l > 0$ $l > 0$ $l < 0$ $l < 0$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $0$
$\lim g(x)$ $l'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $±\infty$
$\lim (f \times g)(x)$ $l \times l'$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ F.I.
Quotient de limites
$\lim f(x)$ $l$ $l$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $±\infty$
$\lim g(x)$ $l'≠0$ $±\infty$ $l' > 0$ $l' < 0$ $l' > 0$ $l' < 0$ $±\infty$
$\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ $\frac{l}{l'}$ $0$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ F.I.
Théorème de comparaison

Soient 2 fonctions $f$, $g$ telles que $f(x)\geq g(x)$ pour $x$ assez grand

$$\text{Si }\lim_{x \to +\infty} g(x)=+\infty\text{ alors }\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$$

Théorème des gendarmes

Soient 3 fonctions $f$, $g$, $h$ telles que $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ pour $x$ assez grand

$$\text{Si }\lim_{x \to +\infty} f(x)=l\text{ et }\lim_{x \to +\infty} h(x)=l\text{ alors }\lim_{x \to +\infty} g(x)=l$$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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