Limites de fonctions

Exercices, quiz et cours - Niveau Terminale Spécialité.

Tous À faire Terminés
Avance Intermediaire

Intermediaire

5 exercices

Étude de fonctions avec limites et asymptotes

Intermédiaire Premium

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{2x^2-5x+1}{-x^2+4x-3}$

  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$
  2. Déterminer les limites au bornes de l'ensemble de définition
  3. En déduire une équation de chaque asymptote éventuelle

Limites avec théoremes de comparaison ou gendarmes

Intermédiaire Premium

Déterminer les limites suivantes en $+\infin$ en utilisant les théorèmes de comparaison ou des gendarmes

  1. Pour tout réel $x$, $f(x)\geq 3x$
  2. Pour tout réel $x$, $1-\frac{1}{x}\leq f(x)\leq 1+\frac{1}{x}$
  3. Pour tout réel $x$, $f(x)=(5+cos(x))x^3$
  4. Pour tout réel $x$, $f(x)=2+\frac{sin(x)}{x}$
  5. Pour tout réel $x$, $f(x)=x^4+\frac{\sqrt{x^2+1}}{5x}$
  6. Pour tout réel $x$, $f(x)=sin(\frac{1}{x})-\frac{1}{3x}$ quand x tend vers $0^+$

Limites avec croissance comparée

Intermédiaire Premium

Déterminer les limites en $+\infin$ et $-\infin$

  1. $f(x)=\dfrac{e^x-5x^2}{x^3+1}$
  2. $f(x)=\dfrac{e^x+3x}{e^x-x^2}$
  3. $f(x)=e^{-x}+3x^2-1$ en $-\infin$
  4. $f(x)=e^{-2x}-e^{-x}$ en $-\infin$

Limites par composition

Intermédiaire Premium

Déterminer les limites des fonctions suivantes

  1. $f(x)=e^{-x^2}$ quand $x\to +\infin$
  2. $g(x)=cos(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}})$ quand $x\to +\infin$
  3. $h(x)=e^{3x^2-5x+1}$ quand $x\to +\infin$ et $x\to -\infin$
  4. $k(x)=(1-3x+x^2)^3$ quand $x\to +\infin$ et $x\to -\infin$

Étude des limites pour faire un tableau de variations

Intermédiaire Premium

D'après Bac Asie 2023

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=e^{2x}-e^x+1$

  1. Déterminer $\lim\limits_{x \to -\infin}g(x)$
  2. Montrer que $\lim\limits_{x \to +\infin}g(x)=+\infin$
  3. Montrer que $g'(x)=e^x (2e^x-1)$ pour tout $x\in \R$
  4. Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$
    Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s'il y en a, ainsi que les limites de $g$ en $+\infin$ et $-\infin$
  5. En déduire le signe de $g$ sur $\R$
  6. Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question 5 en posant $X=e^x$

Avance

1 exercices

Limites et fonction partie entière

Avancé Premium

On considère la fonction partie entière $y=E(x)$. $E(x)$ est le plus entier relatif inférieur ou égal à $x$. Par exemple, $E(2,7)=2$, $E(8)=8$ ou $E(-4,1)=-5$.
On a donc $\forall x\in \R$, $E(x) \leq x < E(x)+1$.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=xE(\frac{1}{x})$

  1. Calculer les limites de $f$ en $+\infin$ et $-\infin$
  2. Montrer que $\forall x\in \R$ on a $x-1 < E(x) \leq x$
  3. Montrer que pour tout $x>0$, $1-x < f(x) \leq 1$ et en déduire $\lim\limits_{x \to 0^+ }f(x)$
  4. Montrer que pour tout $x<0$, $1\leq f(x)<1-x$ et en déduire $\lim\limits_{x \to 0^- }f(x)$
  5. Conclure

Résumé de cours

Limites de fonctions

Limites de Fonctions

Limite $+\infin$ en $+\infin$Si pour tout $A\in \R$ il existe un nombre $x_0$ tel que $f(x)\in ]A;+\infin[$ si $x\geq x_0$ alors on dit que $\lim\limits_{x \to +\infin }f(x)=+\infin$
Fonctions de référence $x\mapsto x^n$ avec $n\in \N^*$, $x\mapsto \sqrt{x}$, $x\mapsto e^{x}$ on pour limite $+\infin$ en $+\infin$
Limite $-\infin$ en $+\infin$Si pour tout $A\in \R$ il existe un nombre $x_0$ tel que $f(x)\in ]-\infin;A[$ si $x\geq x_0$ alors on dit que $\lim\limits_{x \to +\infin }f(x)=-\infin$
Fonctions de référence $x\mapsto -x^n$ avec $n\in \N^*$, $x\mapsto -\sqrt{x}$, $x\mapsto -e^{x}$ on pour limite $-\infin$ en $+\infin$
Limite finie en $+\infin$Dire que $\lim\limits_{x \to +\infin }f(x)=l$ signifie que pour tout intervalle ouvert contenant $l$ on peut trouver une valeur de $x$ à partir de laquelle toutes les valeurs de $f(x)$ appartiennent à cet intervalle ouvert.
Fonctions de référence $x\mapsto \frac{1}{x^n}$ avec $n\in \N^*$, $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$, $x\mapsto -e^{x}$ on pour limite $0$ en $+\infin$
Limite infinie en $a\in \R$Dire qu’une fonction f a pour limite $+\infin$ en $a$ signifie que tout intervalle de la forme ]A ; +∞[ (avec A un nombre réel) contient toutes les valeurs f(x) pour x assez proche de a. On note $\lim\limits_{x \to a }f(x)=+\infin$
Exemples $\lim\limits_{x \to a^+}\frac{1}{x-a}=+\infin$ $\lim\limits_{x \to a^-}\frac{1}{x-a}=-\infin$ $\lim\limits_{x \to a}\frac{1}{(x-a)^2}=+\infin$
Asymptote horizontaleLa droite d'équation $y=l$ est une asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infin$ ou en $-\infin$ si $\lim\limits_{x \to +\infin }f(x)=l$ ou $\lim\limits_{x \to -\infin }f(x)=l$
Asymptote verticaleSi $\lim\limits_{x \to a }f(x)=+\infin$ ou $\lim\limits_{x \to a }f(x)=-\infin$ la courbe de $f$ admet une asymptote verticale: la droite d'équation $x=a$
Somme de limites
si $\lim\limits_{x \to a }f(x)=$ $l$ $l$ $l$ $+\infin$ $+\infin$ $-\infin$
si $\lim\limits_{x \to a }g(x)=$ $l'$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$ $-\infin$ $-\infin$
$\lim\limits_{x \to a }f(x)+g(x)=$ $l+l'$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$ Forme
indéterminée		 $-\infin$
Produit de limites
si $\lim\limits_{x \to a }f(x)=$ $l$ $l>0$ $l>0$ $l<0$ $l<0$ $+\infin$ $+\infin$ $-\infin$ $0$
si $\lim\limits_{x \to a }g(x)=$ $l'$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$ $-\infin$ $-\infin$ $+\infin$ ou $-\infin$
si $\lim\limits_{x \to a }f(x)\times g(x)=$ $l\times l'$ $+\infin$ $-\infin$ $-\infin$ $+\infin$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$ Forme
indéterminée
Quotient de limites
si $\lim\limits_{x \to a }f(x)=$ $l$ $l'$ $+\infin$ $+\infin$ $-\infin$ $-\infin$ $-\infin$ ou $-\infin$
si $\lim\limits_{x \to a }g(x)=$ $l'\not = 0$ $+\infin$ ou $-\infin$ $l'>0$ $l'<0$ $l'>0$ $l'<0$ $+\infin$ ou $-\infin$
si $\lim\limits_{x \to a }\frac{f(x)}{g(x)}=$ $\dfrac{l}{l'}$ $0$ $+\infin$ $-\infin$ $-\infin$ $+\infin$ $+\infin$ ou $-\infin$
Théorème des comparaisonSoient 2 fonctions $f$, $g$ telles que $f(x)\geq g(x)$ pour $x$ assez grand

Si $\lim\limits_{x \to +\infin } g(x)=+\infin$ alors $\lim\limits_{x \to +\infin } f(x)=+\infin$

Théorème des gendarmesSoient 3 fonctions $f$, $g$, $h$ telles que $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ pour $x$ assez grand

Si $\lim\limits_{x \to +\infin } f(x)=l$ et $\lim\limits_{x \to +\infin } h(x)=l$ alors $\lim\limits_{x \to +\infin } g(x)=l$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

Video