Fonctions logarithmes

Exercices, évaluations et cours - Niveau Terminale Spécialité.

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Intermediaire Basique

Basique

6 exercices

Appliquer la définition du logarithme néperien

Basique Premium
  1. Compléter les égalités suivantes:
    1. $e^{ln(5)}=$
    2. $ln(e^{-3})=$
    3. $exp(ln(x^2+1)=$
    4. $ln(\frac{1}{e})=$
  2. Résoudre dans $]0;~+\infin[$ l'équation $ln(x)=-2$
  3. Résoudre dans $\R$ l'équation $e^x=7$
  4. Résoudre dans $\R$ l'équation $e^{3x-5}=2$
  5. Résoudre dans $]-\infin;~1[$ l'équation $ln(-x+1)=5$

Simplifier avec les propriétés du logarithme

Basique Premium
  1. Montrer que $ln(2)+ln(4)+ln(8)+ln(16)=10ln(2)$
  2. Montrer que $ln(27)-ln(3)+ln(6)-ln(54)$ est un nombre entier.
  3. Montrer que $\frac{1}{4}ln(81)=ln(3)$
  4. Exprimer $ln(100)$ en fonction de $ln(2)$ et $ln(5)$
  5. Exprimer $ln(\sqrt(72))$ en fonction de $ln(2)$ et $ln(3)$

Résoudre avec le logarithme

Basique Premium

Résoudre les équations suivantes en précisant l'intervalle de résolution:

  1. $ln(2x+3)=-1$
  2. $ln(x-5)=ln(2x+7)$
  3. $ln(2x^2+4)=ln(-5x+1)$
  4. $2ln(x-3)=10$

Inéquations avec le logarithme

Basique Premium

Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes.

  1. $ln(x)<3$
  2. $2ln(x)-5>7$
  3. $e^{x}-8>12$
  4. $-3ln(2x-5)+9>7$

Résoudre des equations plus complexes avec le logarithme

Basique Premium

Résoudre dans $\R$ pour la variable $x$ et dans $\N$ pour la variable $n$ les équations ou inéquations suivantes.

  1. $2^n \geq 95$
  2. $x^9=124$
  3. $(\frac{3}{4})^n \leq \frac{1}{10}$
  4. $5x^7-4\leq 3$

Logarithme et limites

Basique Premium

Déterminer les limites suivantes:

  1. $\lim\limits_{x \to 0 }-2ln(x)+7x^2+1$
  2. $\lim\limits_{x \to +\infin}ln(\frac{x+1}{x})$
  3. $\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac{ln(x)}{x}$
  4. $\lim\limits_{x \to +\infin} x-ln(x)$
  5. $\lim\limits_{x \to +\infin } \dfrac{ln(x)}{\sqrt{x}}$

Intermediaire

4 exercices

Calcul de dérivées avec le logarithme

Intermédiaire

Calculer les dérivées des fonctions suivantes après avoir déterminé leur intervalle de définition et dérivabilité.

  1. $f(x)=3(ln(x))^2$
  2. $g(x)=5(x+1)^2ln(x)$
  3. $h(x)=ln(x^2-5x-6)$
  4. $j(x)=ln(1+e^{-10x})$
  5. $k(x)=\dfrac{5x-ln(x)}{x^2+1}$

Résoudre des equations logarithmiques avec changement de variable

Intermédiaire Premium

Résoudre les équations suivantes après avoir effectué un changement de variable.

  1. $ln(x)^2+ln(x)-12=0$
  2. $-3e^x+e^{-x}+2=0$
  3. $4ln(x)^2-ln(\dfrac{1}{x})-3=0$
  4. $2e^{2x}-11e^x+12=0$

Suites et logarithmes

Intermédiaire Premium

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$, et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=e\times \sqrt{u_n}$$

  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $$1\leq u_n \leq e^2$$.
  2. Démontrer que $(u_n)$ est croissante et en déduire qu'elle est convergente.
  3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $$v_n=ln(u_n)-2$$
    1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$
    2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$v_n=-\frac{1}{2^{n-1}}$$
    3. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis la limite de la suite $(u_n)$.

Étude d'une fonction avec logarithme

Intermédiaire Premium

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{ln(x)}{x}$

  1. Déterminer l'ensemble de définition $\cal{D}_f$ de $f$.
  2. Démontrer que la courbe admet une asymptote horizontale.
  3. Déterminer la limite de $f$ en $0$.
  4. Étudier les variation de $f$ sur $\cal{D}_f$

Résumé de cours

Fonctions logarithmes

Logarithmes

Définition

La fonction réciproque de la fonction exponentielle $y=e^x$ s'appelle la fonction logarithme népèrien et est définie par: $$\begin{cases} x\mapsto \ln(x) \\ ]0;~+\infty[ \to \mathbb{R} \end{cases}$$

Pour tout nombre $a>0$, la fonction logarithme népèrien de $a$ l'unique solution réelle de l'équation $e^x=a$

Définition
Lien entre fonctions exponentielles et logarithme népèrien
1 Pour tout $x\in ]0;~+\infty[$, on a $e^{\ln(x)}=x$
2 Pour tout $x\in \mathbb{R}$, on a $\ln(e^x)=x$
Propriétés du logarithme népèrien
1 La fonction logarithme népèrien est strictement croissante sur $]0;~+\infty[$
2 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\ln(x)=-\infty$
3 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\ln(x)=+\infty$
4 $\ln(1)=0$
5 si $x>1$ alors $\ln(x)>0$, si $0 < x < 1$ alors $\ln(x)<0$
Propriétés du logarithme népèrien
Règles de calcul
1 $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$
2 $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$
3 $\ln\left(\frac{1}{a}\right)=-\ln(a)$
4 $\ln(a^n)=n\ln(a)$
Équations et inéquations logarithmiques

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ strictement positifs:

1 $\ln(a)=\ln(b) \iff a=b$
2 $\ln(a) < \ln(b) \iff a < b$
Limites et croissance comparée

Pour tout nombre entier $n$ strictement positif:

1 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}x^{n}\ln(x)=0\text{ et }\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}=0$
2 $\displaystyle\text{Pour }n=1\text{ : }\lim_{x \to 0^+}x\ln(x)=0\text{ et }\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$
Dérivée et logarithme

Soit $x$ un nombre réel strictement positif et $u$ une fonction à valeurs strictement positives.

1 $(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$
2 $(\ln(u))'=\dfrac{u'}{u}$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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