Fonctions logarithmes

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Résumé de cours

Fonctions logarithmes

Logarithmes

Définition

La fonction réciproque de la fonction exponentielle $y=e^x$ s'appelle la fonction logarithme népèrien et est définie par: $$\begin{cases} x\mapsto \ln(x) \\ ]0;~+\infty[ \to \mathbb{R} \end{cases}$$

Pour tout nombre $a>0$, la fonction logarithme népèrien de $a$ l'unique solution réelle de l'équation $e^x=a$

Définition
Lien entre fonctions exponentielles et logarithme népèrien
1 Pour tout $x\in ]0;~+\infty[$, on a $e^{\ln(x)}=x$
2 Pour tout $x\in \mathbb{R}$, on a $\ln(e^x)=x$
Propriétés du logarithme népèrien
1 La fonction logarithme népèrien est strictement croissante sur $]0;~+\infty[$
2 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\ln(x)=-\infty$
3 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\ln(x)=+\infty$
4 $\ln(1)=0$
5 si $x>1$ alors $\ln(x)>0$, si $0 < x < 1$ alors $\ln(x)<0$
Propriétés du logarithme népèrien
Règles de calcul
1 $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$
2 $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$
3 $\ln\left(\frac{1}{a}\right)=-\ln(a)$
4 $\ln(a^n)=n\ln(a)$
Équations et inéquations logarithmiques

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ strictement positifs:

1 $\ln(a)=\ln(b) \iff a=b$
2 $\ln(a) < \ln(b) \iff a < b$
Limites et croissance comparée

Pour tout nombre entier $n$ strictement positif:

1 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}x^{n}\ln(x)=0\text{ et }\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}=0$
2 $\displaystyle\text{Pour }n=1\text{ : }\lim_{x \to 0^+}x\ln(x)=0\text{ et }\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$
Dérivée et logarithme

Soit $x$ un nombre réel strictement positif et $u$ une fonction à valeurs strictement positives.

1 $(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$
2 $(\ln(u))'=\dfrac{u'}{u}$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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