Fonctions logarithmes

Définition

La fonction réciproque de la fonction exponentielle $y=e^x$ s'appelle la fonction logarithme népèrien et est définie par: $$\begin{cases} x\mapsto \ln(x) \\ ]0;~+\infty[ \to \mathbb{R} \end{cases}$$

Pour tout nombre $a > 0$, la fonction logarithme népèrien de $a$ l'unique solution réelle de l'équation $e^x=a$

$Définition$

Lien entre fonctions exponentielles et logarithme népèrien

1 Pour tout $x\in ]0;~+\infty[$, on a $e^{\ln(x)}=x$

2 Pour tout $x\in \mathbb{R}$, on a $\ln(e^x)=x$

Propriétés du logarithme népèrien

1 La fonction logarithme népèrien est strictement croissante sur $]0;~+\infty[$

2 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\ln(x)=-\infty$

3 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\ln(x)=+\infty$

4 $\ln(1)=0$

5 si $x > 1$ alors $\ln(x) > 0$, si $0 < x < 1$ alors $\ln(x) < 0$

$Propriétés du logarithme népèrien$

Règles de calcul

1 $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$

2 $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$

3 $\ln\left(\frac{1}{a}\right)=-\ln(a)$

4 $\ln(a^n)=n\ln(a)$

Équations et inéquations logarithmiques

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ strictement positifs:

1 $\ln(a)=\ln(b) \iff a=b$

2 $\ln(a) < \ln(b) \iff a < b$

Limites et croissance comparée

Pour tout nombre entier $n$ strictement positif:

1 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}x^{n}\ln(x)=0\text{ et }\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}=0$

2 $\displaystyle\text{Pour }n=1\text{ : }\lim_{x \to 0^+}x\ln(x)=0\text{ et }\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$

Dérivée et logarithme

Soit $x$ un nombre réel strictement positif et $u$ une fonction à valeurs strictement positives.

1 $(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$

2 $(\ln(u))'=\dfrac{u'}{u}$

Résumé du cours

Logarithmes