Préciser si les affirmation suivantes sont vraies ou fausses:

1. $f$ est continue en 2
2. $f$ est discontinue en -1
3. $f$ est continue sur l'intervalle $[-2;2[$
4. $f$ est continue sur l'intervalle $]-1;3]$
5. $f$ est continue sur l'intervalle $[0;5[$

Étudier la continuité des fonctions suivantes:

1. $\begin{cases}\dfrac{x^2+1}{(x-1)^2} &\text{si } x<0\\ -2x+1 &\text{si } x\geq 0\end{cases}$
2. $\begin{cases}x^3-12 &\text{si } x<3\\ 7x-6 &\text{si } 3\leq x < 5 \\ x^2-10 &\text{si } x\geq 5 \end{cases}$
3. $\begin{cases}-2x^4 &\text{si } x<1\\ x^2+x+1 &\text{si } x\geq 1\end{cases}$

On désigne par $f$ une fonction définie et continue sur $\R$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous. Donner le nombre de solutions de chacune des équations suivantes sur l'intervalle précisé.

1. $f(x)=3$ sur $[-5;+\infin[$
2. $f(x)=-1$ sur $\R$
3. $f(x)=-7$ sur $\R$
4. $f(x)=0$ sur $]-\infin;-1]$
5. $f(x)=1000$ sur $\R$

Justifier que les fonctions suivantes sont continues sur $\R$

1. $f(x)=\frac{x^3-4x^2+5x+7}{1+x^2}$
2. $g(x)=(x^5-x^3)e^{-x}$
3. $h(x)=\sqrt{3x^2+5}$
4. $k(x)=e^{-x^2+3}+5e^x-1$

Justifier l'existence de solutions pour les équations suivantes dans l'intervalle précisé

1. $x^3-3x+1=2$ sur $[-1;1]$
2. $-x^3+4x^2-4x=1$ sur $[-5;1]$
3. $3x^4+4x^3=12x^2+1$ sur $\R$

Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_{n+1}=\sqrt{3v_n+4}$ et $v_0=0$

1. Montrer par récurrence sur $n$ que $0\leq v_n \leq v_{n+1} \leq 4$
2. En déduire que la suite est convergente
3. Utiliser le théorème du point fixe pour déterminer la valeur de cette limite