Préciser si les affirmation suivantes sont vraies ou fausses:

1. $f$ est continue en 2
2. $f$ est discontinue en -1
3. $f$ est continue sur l'intervalle $[-2;2[$
4. $f$ est continue sur l'intervalle $]-1;3]$
5. $f$ est continue sur l'intervalle $[0;5[$

Étudier la continuité des fonctions suivantes:

1. $\begin{cases}\dfrac{x^2+1}{(x-1)^2} &\text{si } x<0\\ -2x+1 &\text{si } x\geq 0\end{cases}$
2. $\begin{cases}x^3-12 &\text{si } x<3\\ 7x-6 &\text{si } 3\leq x < 5 \\ x^2-10 &\text{si } x\geq 5 \end{cases}$
3. $\begin{cases}-2x^4 &\text{si } x<1\\ x^2+x+1 &\text{si } x\geq 1\end{cases}$

On désigne par $f$ une fonction définie et continue sur $\R$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous. Donner le nombre de solutions de chacune des équations suivantes sur l'intervalle précisé.

1. $f(x)=3$ sur $[-5;+\infin[$
2. $f(x)=-1$ sur $\R$
3. $f(x)=-7$ sur $\R$
4. $f(x)=0$ sur $]-\infin;-1]$
5. $f(x)=1000$ sur $\R$

Justifier que les fonctions suivantes sont continues sur $\R$

1. $f(x)=\frac{x^3-4x^2+5x+7}{1+x^2}$
2. $g(x)=(x^5-x^3)e^{-x}$
3. $h(x)=\sqrt{3x^2+5}$
4. $k(x)=e^{-x^2+3}+5e^x-1$

Justifier l'existence de solutions pour les équations suivantes dans l'intervalle précisé

1. $x^3-3x+1=2$ sur $[-1;1]$
2. $-x^3+4x^2-4x=1$ sur $[-5;1]$
3. $3x^4+4x^3=12x^2+1$ sur $\R$

Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_{n+1}=\sqrt{3v_n+4}$ et $v_0=0$

1. Montrer par récurrence sur $n$ que $0\leq v_n \leq v_{n+1} \leq 4$
2. En déduire que la suite est convergente
3. Utiliser le théorème du point fixe pour déterminer la valeur de cette limite

On souhaite résoudre l'équation $(E): e^x=x+2$ dans $\R$. Pour cela on va étudier la fonction $f(x)=e^x-x-2$

1. Dresser la tableau de variations de $f$ sur $\R$
2. Déterminer le nombre de solutions de $(E)$
3. Préciser ce que fait l'algorithme ci-dessous

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par: $$f(x)=-x^4+2x^3+3x+1$$

1. Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f'$
2. En déduire que l'équation $f'(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$ notée $\alpha$.
3. Dresser le tableau de signe de $f'$ puis le tableau de variations de $f$.

Soit $f$ la fonction définie par: $$f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-1}-2}{2x-1}$$

1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$, les limites aux bornes de $D_f$ et les potentielles équations des asymptotes
2. Dresser le tableau de variation de $f$
3. En déduire le nombre de solution de l'équation $f(x)=0$ sur $D_f$ et en donner une valeur approchée au centième
4. Dresser le tableau de signe de $f$

On considère la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^3}{x-1}$

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$ puis dresser le tableau de variations de $f$
2. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$

On considère la suite définie par $\begin{cases}u_{0}=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=\frac{4u_n}{1+3u_n}\end{cases}$

1. Déterminer la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$ et donner son ensemble de définition
2. Etudier les variation de $f$ sur $\R$
3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a $\frac{1}{2}\leq u_n \leq u_{n+1} \leq 2$
4. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer la valeur de sa limite

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ telle que $\lim\limits_{n \to +\infin }u_n=a et $u_{n+1}=f(u_n)$.

1. Rappeler la définition de "$f$ est continue en $a$"
2. En utilisant la propriété de composition des limites en déduire que $\lim\limits_{n \to +\infin }f(u_n)=f(a)$
3. Conclure

Montrer que l'équation $x^3-5x^2+3x+1=0$ admet exactement trois solutions réelles.