Continuité

Exercices, quiz et cours - Niveau Terminale Spécialité.

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5 exercices

Déterminer la continuité d'une fonction par morceaux

Avancé

Soit $a$ et $b$ deux réels. On considère la fonction $f$ définie par:

$\begin{cases}ax^2+bx+1 &\text{si } x<-1\\ ax+b &\text{si } -1\leq x< 3\\ x^2-ax-b &\text{si } x\geq 3\end{cases}$

Cette fonction peut-elle être continue sur $\R$? Si oui, pour quelles valeurs de $a$ et $b$?

Continuité d'une fonction en un point

Avancé

Soit $f$ la fonction définie par:

$\begin{cases}f(x)=\dfrac{x^2-x-2}{x-2} &\text{si } x\not = 2\\ f(2)=3\end{cases}$

Cette fonction est-elle continue en $2$?

Etude d'une fonction à l'aide d'une fonction auxiliaire

Avancé

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par:

$$f(x)=2x^3-3x^2-1$$
  1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infin$ et $+\infin$ et dresser le tableau de variations de $f$.
  2. Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$ et que $\alpha \in ]1;2[$
  3. En déduire le signe de $f$ sur $\R$.

    4. On considère la fonction $g$ définie sur $]-1;+\infin[$ par $g(x)=\dfrac{1-x}{1+x^3}$

  4. Déterminer la limite de $g$ en $-1$ et $+\infin$
  5. Après avoir justifié la dérivabilité de $g$ sur $]-1;+\infin[$, montrer que $g'(x)=\dfrac{f(x)}{(1+x^3)^2}$
  6. En déduire le tableau de variation de $g$

Utiliser la dichotomie pour prouver le théorème des valeurs intermédiaires

Avancé

Soit $f$ une fonction continue sur $[a;b]$ et soit $k$ un nombre réel tel que $k\in [f(a);f(b)]$. On veut prouver qu'il existe un nombre $c\in [a;b]$ tel que $k=f(c)$.

On définit les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que:

  1. $a_0=a$ et $b_0=b$
  2. si $f(\dfrac{a_n+b_n}{2})\geq k$ alors $a_{n+1}=a_n$ et $b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}$
  3. si $f(\dfrac{a_n+b_n}{2})< k$ alors $a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}$ et $b_{n+1}=b$

Pour la suite on pose également la suite $c_n=\dfrac{a_n+b_n}{2}$ ce qui permet de réecrire les conditions précédentes sous la forme plus simple:

  1. si $f(c_n)\geq k$ alors $\begin{cases} a_{n+1}=a_n\\ b_{n+1}=c_n\end{cases}$
  2. si $f(c_n)< k$ alors $\begin{cases} a_{n+1}=c_n\\ b_{n+1}=b_n\end{cases}$

  1. Montrer par récurrence sur $n$ que: $$a\leq a_n \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_n \leq b$$
  2. Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_n=b_n-a_n$ pour tout entier $n$ est géométrique et en déduire que $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=0$
  3. En déduire que les suites $a_{n}$ et $b_{n}$ convergent vers une même limite notée $L\in [a;b]$
  4. Montrer par récurrence que $f(a_n)\leq k \leq f(b_n)$
  5. Conclure

Etude d'une fonction à l'aide d'une fonction auxiliaire - 2

Avancé

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$ g(x) = (x + 2)e^{x - 4} - 2. $$
  1. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
  2. Démontrer que la limite de $g$ en $-\infty$ vaut $-2$.
  3. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $g'$ sa dérivée.
    Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ puis dresser le tableau de variations de $g$.
  4. Démontrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
  5. En déduire le signe de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.
  6. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement d’amplitude $10^{-3}$ de $\alpha$.

Partie B : Étude de la fonction $f$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$ f(x) = x^2 - x^2e^{x - 4}. $$
  1. Résoudre l’équation $f(x) = 0$ sur $\mathbb{R}$.
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
    On admet par ailleurs que, pour tout réel $x$, $f'(x) = -xg(x)$ où la fonction $g$ est celle définie à la partie A.
    Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
  3. Démontrer que le maximum de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ est égal à $\dfrac{\alpha^3}{\alpha + 2}.$

Résumé de cours

Continuité

Continuité

Continuité en un point$f$ est continue en $a \in \R$ si seulement si $\lim\limits_{x \to a } f(x)=f(a)$
Continuité sur un intervalle$f$ est continue sur un intervalle $I$ si et seulement si $f$ est continue en tout point de $I$
Continuité des fonctions usuelles
  • Les fonctions polynômes sont continues sur $\R$
  • La fonction valeur absolue est continue sur $\R$
  • La fonction inverse est continue sur $\R^{*}$
  • La fonction racine carrée est continue sur $\R^{+}$
  • La fonction exponentielle est continue sur $\R$
Opérations et continuité
  • La somme de fonctions continues sur $I$ est continue sur $I$
  • Le produit de fonctions continues sur $I$ est continue sur $I$
  • Si $f$ et $g$ sont continues sur $I$ et si $g$ ne s'annule pas sur $I$, alors \dfrac{f}{g} est continue sur $I$
Continuité et dérivabilitéSoit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un nombre réel de $I$
  • Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$
  • Si $f$ est dérivable sur $I$ alors $f$ est continue sur $I$

En d'autres termes, $f$ dérivable $\implies$ $f$ continue

Théorème des valeurs intermédiaires
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$, alors pour tout nombre réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a;b]$
Autrement dit tout nombre de l'intervalle $[f(a);f(b)]$ admet au moins un antécédent par $f$ dans $[a;b]$
Théorème des valeurs intermédiaires - Fonctions monotones
Si $f$ est une fonction continue et monotone sur un intervalle $[a;b]$, alors pour tout nombre réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $[a;b]$
Autrement dit tout nombre de l'intervalle $[f(a);f(b)]$ admet exactement un antécédent par $f$ dans $[a;b]$
Suites et continuité
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ convergeant vers $\alpha \in \R$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin } f(u_n)=f(\alpha)$
Théorème du point fixe
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier $n$.

Si $\lim\limits_{n \to +\infin } u_n=l$ alors $l$ est solution de l'équation $f(x)=x$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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