Continuité

Exercices, évaluations et cours - Niveau Terminale Spécialité.

Par où commencer ?

Sur chaque chapitre, suis cet ordre pour progresser efficacement.

  1. 1. Apprendre — résumé et méthodes vidéo
  2. 2. Exercices — t’entraîner par niveau
  3. 3. Évaluations — te tester (quiz / contrôles)
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Basique

6 exercices

Continuité d'une fonction analyse graphique

Basique Premium

Préciser si les affirmation suivantes sont vraies ou fausses:

  1. $f$ est continue en 2
  2. $f$ est discontinue en -1
  3. $f$ est continue sur l'intervalle $[-2;2[$
  4. $f$ est continue sur l'intervalle $]-1;3]$
  5. $f$ est continue sur l'intervalle $[0;5[$
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Continuité d'une fonction définie par morceau

Basique Premium

Étudier la continuité des fonctions suivantes:

  1. $\begin{cases}\dfrac{x^2+1}{(x-1)^2} &\text{si } x < 0\\ -2x+1 &\text{si } x\geq 0\end{cases}$
  2. $\begin{cases}x^3-12 &\text{si } x < 3\\ 7x-6 &\text{si } 3\leq x < 5 \\ x^2-10 &\text{si } x\geq 5 \end{cases}$
  3. $\begin{cases}-2x^4 &\text{si } x < 1\\ x^2+x+1 &\text{si } x\geq 1\end{cases}$
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Théorème des valeurs intermédiaires et tableau de variations

Basique Premium

On désigne par $f$ une fonction définie et continue sur $\R$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous. Donner le nombre de solutions de chacune des équations suivantes sur l'intervalle précisé.

  1. $f(x)=3$ sur $[-5;+\infin[$
  2. $f(x)=-1$ sur $\R$
  3. $f(x)=-7$ sur $\R$
  4. $f(x)=0$ sur $]-\infin;-1]$
  5. $f(x)=1000$ sur $\R$
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Continuité de fonction avec les théorèmes du cours

Basique Premium

Justifier que les fonctions suivantes sont continues sur $\R$

  1. $f(x)=\frac{x^3-4x^2+5x+7}{1+x^2}$
  2. $g(x)=(x^5-x^3)e^{-x}$
  3. $h(x)=\sqrt{3x^2+5}$
  4. $k(x)=e^{-x^2+3}+5e^x-1$
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TVI et résolution d'équations

Basique Premium

Justifier l'existence de solutions pour les équations suivantes dans l'intervalle précisé

  1. $x^3-3x+1=2$ sur $[-1;1]$
  2. $-x^3+4x^2-4x=1$ sur $[-5;1]$
  3. $3x^4+4x^3=12x^2+1$ sur $\R$
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Continuité et suites: théorème du point fixe

Basique Premium

Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_{n+1}=\sqrt{3v_n+4}$ et $v_0=0$

  1. Montrer par récurrence sur $n$ que $0\leq v_n \leq v_{n+1} \leq 4$
  2. En déduire que la suite est convergente
  3. Utiliser le théorème du point fixe pour déterminer la valeur de cette limite
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Intermediaire

6 exercices

TVI et algorithme python

Intermédiaire Premium

On souhaite résoudre l'équation $(E): e^x=x+2$ dans $\R$. Pour cela on va étudier la fonction $f(x)=e^x-x-2$

  1. Dresser la tableau de variations de $f$ sur $\R$
  2. Déterminer le nombre de solutions de $(E)$
  3. Préciser ce que fait l'algorithme ci-dessous
Aide

TVI, continuité et dérivée seconde

Intermédiaire

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par: $$f(x)=-x^4+2x^3+3x+1$$

  1. Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f'$
  2. En déduire que l'équation $f'(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$ notée $\alpha$.
  3. Dresser le tableau de signe de $f'$ puis le tableau de variations de $f$.
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Nombre de solutions en fonction d'un paramètre

Intermédiaire Premium

On considère la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^3}{x-1}$

  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$ puis dresser le tableau de variations de $f$
  2. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$
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Suite définie avec une fonction et limite

Intermédiaire Premium

On considère la suite définie par $\begin{cases}u_{0}=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=\frac{4u_n}{1+3u_n}\end{cases}$

  1. Déterminer la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$ et donner son ensemble de définition
  2. Etudier les variation de $f$ sur $\R$
  3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a $\frac{1}{2}\leq u_n \leq u_{n+1} \leq 2$
  4. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer la valeur de sa limite
Aide

Prouver le théorème du point fixe

Intermédiaire Premium

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ telle que $\lim\limits_{n \to +\infin }u_n=a et $u_{n+1}=f(u_n)$.

  1. Rappeler la définition de "$f$ est continue en $a$"
  2. En utilisant la propriété de composition des limites en déduire que $\lim\limits_{n \to +\infin }f(u_n)=f(a)$
  3. Conclure
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Un nombre précis de solutions

Intermédiaire Premium

Montrer que l'équation $x^3-5x^2+3x+1=0$ admet exactement trois solutions réelles.

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Avance

4 exercices

Déterminer la continuité d'une fonction par morceaux

Avancé Premium

Soit $a$ et $b$ deux réels. On considère la fonction $f$ définie par:

$\begin{cases}ax^2+bx+1 &\text{si } x < -1\\ ax+b &\text{si } -1\leq x < 3\\ x^2-ax-b &\text{si } x\geq 3\end{cases}$

Cette fonction peut-elle être continue sur $\R$? Si oui, pour quelles valeurs de $a$ et $b$?

Aide

Continuité d'une fonction en un point

Avancé Premium

Soit $f$ la fonction définie par:

$\begin{cases}f(x)=\dfrac{x^2-x-2}{x-2} &\text{si } x\not = 2\\ f(2)=3\end{cases}$

Cette fonction est-elle continue en $2$?

Aide

Etude d'une fonction à l'aide d'une fonction auxiliaire

Avancé Premium

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par:

$$f(x)=2x^3-3x^2-1$$
  1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infin$ et $+\infin$ et dresser le tableau de variations de $f$.
  2. Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$ et que $\alpha \in ]1;2[$
  3. En déduire le signe de $f$ sur $\R$.

    4. On considère la fonction $g$ définie sur $]-1;+\infin[$ par $g(x)=\dfrac{1-x}{1+x^3}$

  4. Déterminer la limite de $g$ en $-1$ et $+\infin$
  5. Après avoir justifié la dérivabilité de $g$ sur $]-1;+\infin[$, montrer que $g'(x)=\dfrac{f(x)}{(1+x^3)^2}$
  6. En déduire le tableau de variation de $g$
Aide

Etude d'une fonction à l'aide d'une fonction auxiliaire - 2

Avancé Premium

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$ g(x) = (x + 2)e^{x - 4} - 2. $$
  1. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
  2. Démontrer que la limite de $g$ en $-\infty$ vaut $-2$.
  3. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $g'$ sa dérivée.
    Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ puis dresser le tableau de variations de $g$.
  4. Démontrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
  5. En déduire le signe de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.
  6. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement d’amplitude $10^{-3}$ de $\alpha$.

Partie B : Étude de la fonction $f$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$ f(x) = x^2 - x^2e^{x - 4}. $$
  1. Résoudre l’équation $f(x) = 0$ sur $\mathbb{R}$.
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
    On admet par ailleurs que, pour tout réel $x$, $f'(x) = -xg(x)$ où la fonction $g$ est celle définie à la partie A.
    Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
  3. Démontrer que le maximum de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ est égal à $\dfrac{\alpha^3}{\alpha + 2}.$
Aide

Résumé de cours

Continuité

Continuité

Continuité en un point

$f$ est continue en $a \in \mathbb{R}$ si et seulement si

$$\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$$

En clair : quand $x$ se rapproche de $a$, les valeurs $f(x)$ se rapprochent de $f(a)$. Autrement dit, la courbe n'a ni trou ni saut en $x=a$ : on peut la tracer sans lever le crayon au voisinage de $a$.

Continuité sur un intervalle
$f$ est continue sur un intervalle $I$ si et seulement si $f$ est continue en tout point de $I$
Continuité des fonctions usuelles
Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$
La fonction valeur absolue est continue sur $\mathbb{R}$
La fonction inverse est continue sur $\mathbb{R}^{*}$
La fonction racine carrée est continue sur $\mathbb{R}^{+}$
La fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$
Opérations et continuité
La somme de fonctions continues sur $I$ est continue sur $I$
Le produit de fonctions continues sur $I$ est continue sur $I$
Si $f$ et $g$ sont continues sur $I$ et si $g$ ne s'annule pas sur $I$, alors $\dfrac{f}{g}$ est continue sur $I$
Continuité et dérivabilité

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un nombre réel de $I$

Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$
Si $f$ est dérivable sur $I$ alors $f$ est continue sur $I$

En d'autres termes : $f$ dérivable $\Rightarrow$ $f$ continue

Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$, alors pour tout nombre réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a;b]$

Autrement dit : tout nombre de l'intervalle $[f(a);f(b)]$ admet au moins un antécédent par $f$ dans $[a;b]$

Théorème des valeurs intermédiaires - Fonctions monotones

Si $f$ est une fonction continue et monotone sur un intervalle $[a;b]$, alors pour tout nombre réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $[a;b]$

Autrement dit : tout nombre de l'intervalle $[f(a);f(b)]$ admet exactement un antécédent par $f$ dans $[a;b]$

Suites et continuité

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ convergeant vers $\alpha \in \mathbb{R}$, alors

$$\lim_{n \to +\infty} f(u_n)=f(\alpha)$$

Théorème du point fixe

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier $n$.

$$\text{Si }\lim_{n \to +\infty} u_n=l\text{ alors }l\text{ est solution de l'équation }f(x)=x$$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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