Continuité

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Continuité

Continuité en un point

$f$ est continue en $a \in \mathbb{R}$ si et seulement si

$$\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$$

En clair : quand $x$ se rapproche de $a$, les valeurs $f(x)$ se rapprochent de $f(a)$. Autrement dit, la courbe n'a ni trou ni saut en $x=a$ : on peut la tracer sans lever le crayon au voisinage de $a$.

Continuité sur un intervalle
$f$ est continue sur un intervalle $I$ si et seulement si $f$ est continue en tout point de $I$
Continuité des fonctions usuelles
Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$
La fonction valeur absolue est continue sur $\mathbb{R}$
La fonction inverse est continue sur $\mathbb{R}^{*}$
La fonction racine carrée est continue sur $\mathbb{R}^{+}$
La fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$
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Résumé de cours

Continuité

Continuité

Continuité en un point

$f$ est continue en $a \in \mathbb{R}$ si et seulement si

$$\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$$

En clair : quand $x$ se rapproche de $a$, les valeurs $f(x)$ se rapprochent de $f(a)$. Autrement dit, la courbe n'a ni trou ni saut en $x=a$ : on peut la tracer sans lever le crayon au voisinage de $a$.

Continuité sur un intervalle
$f$ est continue sur un intervalle $I$ si et seulement si $f$ est continue en tout point de $I$
Continuité des fonctions usuelles
Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$
La fonction valeur absolue est continue sur $\mathbb{R}$
La fonction inverse est continue sur $\mathbb{R}^{*}$
La fonction racine carrée est continue sur $\mathbb{R}^{+}$
La fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$
Opérations et continuité
La somme de fonctions continues sur $I$ est continue sur $I$
Le produit de fonctions continues sur $I$ est continue sur $I$
Si $f$ et $g$ sont continues sur $I$ et si $g$ ne s'annule pas sur $I$, alors $\dfrac{f}{g}$ est continue sur $I$
Continuité et dérivabilité

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un nombre réel de $I$

Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$
Si $f$ est dérivable sur $I$ alors $f$ est continue sur $I$

En d'autres termes : $f$ dérivable $\Rightarrow$ $f$ continue

Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$, alors pour tout nombre réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a;b]$

Autrement dit : tout nombre de l'intervalle $[f(a);f(b)]$ admet au moins un antécédent par $f$ dans $[a;b]$

Théorème des valeurs intermédiaires - Fonctions monotones

Si $f$ est une fonction continue et monotone sur un intervalle $[a;b]$, alors pour tout nombre réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $[a;b]$

Autrement dit : tout nombre de l'intervalle $[f(a);f(b)]$ admet exactement un antécédent par $f$ dans $[a;b]$

Suites et continuité

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ convergeant vers $\alpha \in \mathbb{R}$, alors

$$\lim_{n \to +\infty} f(u_n)=f(\alpha)$$

Théorème du point fixe

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier $n$.

$$\text{Si }\lim_{n \to +\infty} u_n=l\text{ alors }l\text{ est solution de l'équation }f(x)=x$$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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