Calcul intégral

Exercices, quiz et cours - Niveau Terminale Spécialité.

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Basique

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7 exercices

Intégrales et calcul d'aires

Basique

  1. Déterminer les aires rouges et violettes ci-dessus.
  2. Exprimer ces deux aires à l'aide de la notation intégrale $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$

Calculs d'intégrale géométriquement

Basique

Calculer géométriquement les intégrales suivantes après avoir tracé la courbe représentative de chaque fonction sur l'intervalle considéré.

  1. $\displaystyle \int_{-2}^3 4\,dx$
  2. $\displaystyle \int_0^2 x\,dx$
  3. $\displaystyle \int_1^4 -2x+10\,dx$
  4. $\displaystyle \int_{-3}^3 |x|\,dx$

encadrer-graphiquemement

Basique

PARTIE A

Calculer graphiquement les intégrales suivantes:

  1. $\displaystyle \int_{-2}^{-1} f(x)\,dx$
  2. $\displaystyle \int_{-4}^0 f(x)\,dx$
  3. $\displaystyle \int_{-1}^5 f(x)\,dx$
  4. $\displaystyle \int_{-2}^2 f(x)\,dx$

PARTIE B

On considère la courbe de $f$ suivante:

  1. Déterminer graphiquement un encadrement de $\displaystyle \int_{-2}^6 f(x)\,dx$
  2. En réalité $f(x)=-\frac{1}{10}x^2+5$, déterminer $\displaystyle \int_{-2}^6 f(x)\,dx$

Positivité de l'intégrale

Basique

Déterminer le signe des intégrales suivantes sans faire de calcul:

  1. $\displaystyle \int_{-1}^{2} \dfrac{x^2+1}{x^2} \,dx$
  2. $\displaystyle \int_{0}^{4} e^{-x} \,dx$
  3. $\displaystyle \int_{-1}^{-5} -3x^2 \,dx$
  4. $\displaystyle \int_{0,1}^{0,5} \dfrac{ln(x)}{1-x} \,dx$

Pratiquer la formule pour calculer des intégrales

Basique

Pour chacune des fonctions suivantes, vérifier que la fonction en majuscule est une primitive de la fonction donnée puis calculer l'intégrale proposée.

  1. $f(x)=ln(x)$ et $F(x)=xln(x)-x$ puis $\displaystyle \int_{4}^{10} ln(x) \,dx$
  2. $g(x)=\dfrac{1}{x^3}$ et $G(x)=\dfrac{-1}{2x^2}$ puis $\displaystyle \int_{-4}^{-1} \dfrac{1}{x^3} \,dx$
  3. $h(x)=(x-1)(x+3)$ et $H(x)=\dfrac{x^3}{3}+x^2-3x+1$ puis $\displaystyle \int_{-2}^{3} (x-1)(x+3) \,dx$
  4. $j(x)=e^{-2x}-xe^{x^2}$ et $J(x)=-\dfrac{e^{-2x}}{2}-\dfrac{e^{x^2}}{2}$ puis $\displaystyle \int_{0}^{5} (e^{-2x}-xe^{x^2}) \,dx$

Calculs d'intégrales

Basique

Calculer les intégrales suivantes

  1. $\displaystyle \int_{1}^5 \sqrt{2} \,dx$
  2. $\displaystyle \int_{-1}^3 3x-5\,dx$
  3. $\displaystyle \int_0^1 x^3-3x^2+5x-10\,dx$
  4. $\displaystyle \int_{-3}^3 |x|\,dx$

Theorème fondamental

Basique

On considère la fonction définie sur $[0;~+\infin[$ par:$$\displaystyle \int_{0}^x ln(t+1) \,dt$$

  1. Justifier que pour tout $x\in [0;~+\infin[$, $F(x)\geq 0$.
  2. Donner une interprétation graphique de $F(1)$ et $F(2)$ puis les comparer.
  3. Exprimer $F(5)-F(2)$ à l'aide d'une intégrale.
  4. Calculer $F'(x)$ pour tout $x\in [0;~+\infin[$ et en déduire les variations de $F$ sur cet intervalle.

Résumé de cours

Calcul intégral

Calcul Intégral

Unité d'aire

On se place dans le repère orthogonal $(O;~I;~J)$, avec les points $O(0;~0)$, $I(1;~0)$, $J(0;~1)$ et $K(1;~1)$.
L'unité d'aire notée $u.a$ est l'aire du rectangle $OIJK$.

Intégrale d'une fonction continue et positive

Soit $f$ une fonction définie, continue et positive sur un intervalle $[a;~b]$ et $C_f$ sa courbe représentative.
L'aire du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droite d'équations $x=a$ et $x=b$, exprimée en unité d'aire, est appelée intégrale de $a$ à $b$ de la fonction $f$ et est notée $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$

Théorème fondamental

Soit $f$ une fonction définie, continue et positive sur un intervalle $[a;~b]$ et $C_f$ sa courbe représentative.
Soit $F$ la fonction définie sur $[a;~b]$ par:$$F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt$$ $F$ est dérivable sur $[a;~b]$ et on a:$$F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt \implies F'(x)=f(x)$$ $F$ est l'unique primitive de $f$ sur $[a;~b]$ qui s'annule en $a$.

Théorème d'existence
Toute fonction $f$ continue sur $I$ admet des primitives sur $I$.
Toute fonction $f$ continue sur $[a;~b]$ admet une intégrale sur cet intervalle.
Calcul intégral
Soit $f$ une fonction continue et de signe quelconque sur un intervalle $I$. Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
On définit l'integrale de $f$ sur $[a;~b]$ par: $$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\Big[ F(x) \Big]_a^b=F(b)-F(a)$$
Propriétés de l'intégrale

Bornes identiques

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$.

$\displaystyle \int_a^a f(x)\,dx = 0$

Permutation des bornes

Soit $f$ une fonction continue sur $[a;~b]$.

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = - \displaystyle \int_b^a f(x)\,dx$

Relation de Chasles

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$, $b$, $c$ trois nombres réels de $I$.

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = \displaystyle \int_a^c f(x)\,dx+\displaystyle \int_c^d f(x)\,dx$

Linéarité

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ et $\alpha$, $\beta$ deux nombres réels.

$\displaystyle \int_a^b (\alpha f + \beta g)(x)\,dx = \displaystyle \alpha \int_a^b f(x)\,dx+\displaystyle \beta \int_a^b g(x)\,dx$

Positivité

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a;~b]$ alors:

$f(x)\geq 0 \implies \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx \geq 0$

Ordre

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a;~b]$ alors:

$f(x)\leq g(x) \implies \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx \leq \displaystyle \int_a^b g(x)\,dx$

Valeur moyenne

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $[a;~b]$ et $C_f$ sa courbe représentative.
La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[a;~b]$ a pour expression:$$\dfrac{1}{b-a} \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$$

Intégration par parties
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables et de dérivées continues sur un intervalle $[a;~b]$. On a alors: $$\displaystyle \int_a^b u'v=\Big[uv \Big]_{a}^b-\displaystyle \int_a^b uv'$$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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