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Exercice 3

Antilles Guyane • Jour 1 • 16 juillet 2026

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Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,;\,\vec{k}\right)$.

On considère :

  • les points $S(-1\,;\,\sqrt{2}\,;\,-4)$, $\mathrm A(2\,;\,\sqrt{2}\,;\,-1)$, $\mathrm B(1\,;\,\sqrt{2}\,;\,0)$ et $\mathrm C(2\,;\,0\,;\,-1)$ ;
  • la droite $d$ de représentation paramétrique $$\begin{cases} x = 2-k \\ y = \sqrt{2}\,k \\ z = -1-k \end{cases}, \quad k \in \mathbb{R}$$
  • le plan $P$ d'équation $x - z + 1 = 0$.

On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.

Affirmation 1 : Le vecteur $\overrightarrow{SA}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

Affirmation 2 : Les droites $(SB)$ et $d$ sont sécantes.

Affirmation 3 : La droite $d$ est parallèle au plan $P$.

Affirmation 4 : Le projeté orthogonal de S sur le plan $P$ est le point H de coordonnées $(-3\,;\,\sqrt{2}\,;\,-2)$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Antilles Guyane 16 juillet 2026 J1

  1. Montrer que $\overrightarrow{SA}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0\\-\sqrt{2}\\0\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{SA}\begin{pmatrix}3\\0\\3\end{pmatrix}.$$ $$\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{AB}=3(-1)+3\times 1=0,\qquad \overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{AC}=0.$$ $\overrightarrow{SA}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$, donc normal à $(ABC)$.
    Affirmation 1 : VRAIE.
  2. $(SB)$ et $d$ non parallèles ; chercher un point commun. $$\overrightarrow{SB}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix},\quad \vec u_d\begin{pmatrix}-1\\\sqrt{2}\\-1\end{pmatrix}$$ non colinéaires. Représentation paramétrique de $(SB)$ : $$\begin{cases}x=-1+2t\\ y=\sqrt{2}\\ z=-4+4t\end{cases}.$$ Le système avec $d$ donne $k=1$ puis $t=1$ et $t=\dfrac{1}{2}$ : incompatible. Aucun point commun : droites non coplanaires.
    Affirmation 2 : FAUSSE.
  3. $\vec u_d\cdot\vec n_P=0$ : $d$ parallèle à $P$. $$\vec u_d\begin{pmatrix}-1\\\sqrt{2}\\-1\end{pmatrix},\quad \vec n_P\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},\qquad \vec n_P\cdot\vec u_d=-1+1=0.$$
    Affirmation 3 : VRAIE.
  4. Vérifier $H\in P$ et $(SH)\perp P$. $$x_H-z_H+1=-3-(-2)+1=0$$ donc $H\in P$. $$\overrightarrow{SH}\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}$$ colinéaire à $\vec n_P$, donc $(SH)\perp P$.
    Affirmation 4 : VRAIE.

Antilles Guyane 16 juillet 2026 J1